Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Теория функции комплексного переменного Теорема Коши Ряд Тейлора Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить пределы Изменить порядок интегрирования Найти объем тела числовые ряды Найти неопределенные интегралы

Лекция 9

Ряд Лорана

 


Пусть функция f(z) аналитична в кольце  и непрерывна на границе. Точка z – внутренняя точка кольца. Проведем разрезы как показано на втором рисунке. В результате область аналитичности функции  становится односвязной, ограниченной контуром   Найдём интеграл: .

По теореме Коши: или

 

Знак минус появляется из-за изменения направления обхода.

Совершим предельный переход:

Далее

так как . Далее найдем

 

где

Такой ряд можно почленно интегрировать, так как он равномерно сходящийся. Однако в данном случае коэффициенты  не являются коэффициентами ряда Тейлора. Таким образом,

Найдем второе слагаемое

Пусть m= - n, тогда n= - m:

Так как функция  голоморфна в кольце, ограниченном контурами L и C, то по теореме Коши:

то есть эти интегралы равны между собой и равны интегралу по любому замкнутому непересекающемуся контуру, лежащему в области аналитичности подынтегральной функции. Обозначим

Второе слагаемое будет иметь такое разложение:

Подставим всё это в формулу для , поменяв индекс m на n:

  - ряд Лорана.

Часть ряда Лорана  (правильная) – обычный степенной ряд, к которому применима теорема Абеля. Следовательно, ряд сходится в круге . Вторая часть  (главная) - также степенной ряд, равномерно сходящийся вне круга . Таким образом, ряд Лорана равномерно сходится в кольце .

Комплексные числа и действия над ними. Определение, свойства, операции на ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Многочлены. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители. Теорема Безу. Разложение дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения