Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Теория функции комплексного переменного Теорема Коши Ряд Тейлора Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить пределы Изменить порядок интегрирования Найти объем тела числовые ряды Найти неопределенные интегралы

Лекция 5

Теорема Коши для многосвязных областей

Пусть область D – двусвязная, иными словами, ее нельзя стянуть в точку за счет деформации граничного контура . Пример такой области приведен на рисунке: внутри области  содержится область , ограниченная контуром Г.

 


Требуется, как и выше, найти контурный интеграл

Выберем произвольную точку А на L и соединим её с точкой В на Г. По отрезку АВ выполним математический разрез (разрез, не имеющий ширины), как показано на рисунке справа. Точка А совпадает с точкой , а В – с . Разрезанная таким образом область превращается в односвязную с граничным контуром .

Будем двигаться так (вдоль контура): . В этом случае разобранная выше теорема Коши дает:

.

.

В общем случае, когда область D есть -связная область, то есть содержит внутри себя n областей, получается:

Теорема Морера

Пусть  - функция, непрерывная в области D. Если для любого замкнутого непересекающегося контура, целиком лежащего в области D, справедливо равенство , то функция  голоморфна в области D.

Доказательство:

откуда следуют условия Коши-Римана.

Интеграл Коши

Рассмотрим некоторую функцию f(z), голоморфную в односвязной области D. На контуре L функция не обязательно голоморфна, но обязательно непрерывна. Она также непрерывно продолжима на контур L из любой внутренней точки области D. Пусть  - некоторая внутренняя точка области .

 


При этом справедлива формула  - формула Коши.

Доказательство:

Рассмотрим функцию  - голоморфную в области D за исключением точки   с координатой , где она не определена.

Окружим точку М(z) контуром Г. Тогда по теореме Коши для многосвязных областей получим

Так как функция  голоморфна повсюду, кроме точки z, то контур Г – произвольный. Нужно лишь, чтобы он охватывал точку M и лежал внутри контура . В качестве Г возьмём окружность, радиус которой стремится к нулю.

Введём локальную систему координат с центром в точке M. Пусть

. Выполним предельный переход

Комплексные числа и действия над ними. Определение, свойства, операции на ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Многочлены. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители. Теорема Безу. Разложение дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения