Курс лекций по ТФКП теория функции комплексного переменного

Комплексные числа Комплексным числом называется число вида x+iy, где x и y – действительные числа, а i – символ, который называется мнимой единицей. Числа x и y называются действительной и мнимой частями комплексного числа.

Функции комплексного переменного Рассмотрим две области: Пусть известен закон, позволяющий по известным координатам некоторой точки из области D получить координаты точки в области Е. Если такой закон известен, то говорят, что задано отображение области D на область Е. Если каждой точке из области D соответствует только одна точка в области Е, то отображение называется однозначным, в противном случае – многозначным. Функция, осуществляющая однозначное отображение, называется однозначной функцией.

Конформные отображения

Интегрирование функций комплексного переменного Пусть в некоторой области  на плоскости xOy задана кусочно-гладкая непересекающаяся кривая АВ (контур Г). Предположим, что на этом контуре известна функция комплексного переменного F(t), где t – комплексная переменная, меняющаяся вдоль Г.

Теорема Коши для многосвязных областей Пусть область D – двусвязная, иными словами, ее нельзя стянуть в точку за счет деформации граничного контура . Пример такой области приведен на рисунке: внутри области  содержится область , ограниченная контуром Г.

Производные голоморфной функции

Первая теорема Вейерштрасса Пусть имеется некоторый равномерно сходящийся в односвязной области  ряд , состоящий из голоморфных функций. Тогда сумма ряда S(z) – также голоморфная функция.

Ряд Тейлора Рассмотрим односвязную область D и функцию f(z), голоморфную в области D и непрерывную в области D вплоть до границы L. Внутри области D выберем (произвольно) точки a и z, а на границе - точку t.

Ряд Лорана

Особые точки аналитических функций Если функция в точке а не является аналитической, то эта точка называется особой. Пусть в окрестности  точки а функция f(z) является однозначной и голоморфной. В этом случае особая точка называется изолированной особой точкой.

Теорема о вычетах В области D функция голоморфна повсюду за исключением m изолированных особых точек (если эти точки – полюсы, то такая функция называется мероморфной). Найдём интеграл: .

Обратные тригонометрические и гиперболические функции

Сингулярный интеграл Рассмотрим несобственный интеграл от действительной переменной :

Задача Римана Пусть требуется построить аналитическую функцию F(z), обращающуюся в бесконечно удалённой точке в нуль и удовлетворяющую на отрезке действительной оси длиной 2a

Операционное исчисление Пусть дано обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (все величины – действительные)

Нахождение оригинала по изображению Пусть на комплексной плоскости определена некоторая аналитическая функция F(p). В бесконечно удалённой точке F(p)=0. Функция F(p) имеет только точечные особенности (изолированные особые точки), причём существует такая точка , что все особые точки лежат левее прямой x=a. При выполнении этих условий эта функция может рассматриваться как изображение некоторого оригинала f(t).

Теорема о свёртке

Математика, физика примеры решений задач, контрольных, курсовых.