НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a,b] ); для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на [a,b]. Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными.Применение тройных интегралов.
Масса неоднородного тела
Рассмотрим тело, занимающее пространственную область
(рис. 1), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:
Единица измерения плотности - кг/м3.
Рис. 1.
Разобьем тело произвольным образом на n частей; объемы этих частей обозначим
Выберем затем в каждой части по произвольной точке
Полагая, что в, каждой частичной области плотность постоянна и равна ее значению в точке
, мы получим приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы
(*)
Предел этой суммы при условии, что
и каждое частичное тело стягивается в точку (т. е. что его диаметр ) стремится к нулю), и даст массу М тела
Сумма (*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом от функции
по пространственной области
.
К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл
где
- произвольная непрерывная в области
функция.
Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулируется и теорема существования тройного интеграла .
Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подынтегральная функция
тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V области
:
Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом.
V 1. Если функция
во всех точках области интегрирования
удовлетворяет неравенствам
то
где V - объем области
.
ТЕОРЕМА. Пусть 1) функция
непрерывна на промежутке
; 2) функция
непрерывно дифференцируема на промежутке
, имеет множество значений, принадлежащих промежутку
, и
на
. Тогда
, (**)
где
– какая-либо первообразная для функции
на
;
– обратная функция для функции
.
В самом деле, условие
гарантирует существование
обратной функциии ее производной
. Дифференцируя по
на
сложную функцию
,
и учитывая
равенство, получим
.
Итак, функция
– первообразная для
на
.
Теорема показывает, что если при вычислении интеграла
удается подобрать функцию
,
с указанными свойствами и интеграл
вычисляется, то исходный
интеграл определяется формулой (**), при этом счет проводится по алгоритму:выбрать функцию
с непрерывной и знакопостоянной
производной так, чтобы эта функция отображала промежутокв промежуток определения функции
; найти обратную
функцию;
найти
,
;
заменить интеграл
интегралом
;
вычислить
;
вернуться к первоначальной переменной интегрирования
,
заменяя. Получить ответ в виде
.
Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями |