Производная
функции Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем
сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены
производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u),
u=u(x). При этом следует помнить, что
.
Производная
и дифференциал. Исследование функций.
Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование
Замена переменной;
интегрирование по частям
Интегрирование выражений, содержащих
квадратный трехчлен
Интегрирование
рациональных функций Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь (многочлен
в числителе, многочлен в знаменателе), обычно нужно ее упростить (как вы помните,
это значит – представить в виде суммы).
Интегрирование тригонометрических выражений С тригонометрическими интегралами
мы уже встречались ранее. Их особенностью, пожалуй, можно считать обилие тригонометрических
формул, позволяющих преобразовывать подынтегральное выражение, что часто позволяет
его упростить. Способов такого преобразования, как и способов замены переменной
в тригонометрическом интеграле обычно много, но для некоторых типов интегралов
известны стандартные действия, приводящие к ответу наиболее коротким путем. Их
описанию и посвящен рассматриваемый параграф лекций. На наш взгляд, приведенный
там материал достаточно прост и показателен, сделаем только два замечания
Функции
нескольких переменных Пример. Найти область определения функции 
Двойной
интеграл Отметим здесь, что при интегрировании функции z(x; y) по переменной
х, так же как и при дифференцировании, считают y=const и пользуются обычными правилами
вычисления интеграла. При этом пределы интегрирования могут зависеть от у (но
не от х).
ОДУ первого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения Линейные уравнения
и уравнения Бернулли. Уравнения в полных
дифференциалах.
Определенные
интегралы, несобственные интегралы
ОДУ
высших порядков. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Найти
модуль и аргумент чисел
и
. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить
числа в тригонометрической и показательной форме.
Вычислить значение функции
в точке
, ответ представить в алгебраической форме комплексного
числа
Определить вид кривой
.
Проверить,
может ли функция
быть действительной частью некоторой аналитической
функции
, если да – восстановить ее, при условии
.
Найти область плоскости
, в которую отображается с помощью функции
область
:
плоскости
.
Найти все
лорановские разложения данной функции
по степеням
. Указать главную и правильную части
ряда.
Разложить в ряд Лорана
функцию
в окрестности особой точки
.
Вычислить
интегралы от функции комплексного переменного
Вычислить интегралы,
используя теорему Коши о вычетах
Изменить порядок интегрирования в интеграле
.
Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Приведем решение
двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией
поверхности.
Найти объем тела
, ограниченного
поверхностями 
Найти
массу пластинки (
):
,

Найти массу тела
, ограниченного поверхностями:
;
; 
;
; плотность массы тела
.
Вычислить
криволинейный интеграл 
Вычислить
массу дуги кривой (
) при заданной плотности
:
Вычислить работу силы
при перемещении единичной массы вдоль кривой
линии пересечения двух поверхностей:
от точки
до точки 
Вычислить
расходимость (дивергенцию) и вихрь (ротор) в произвольной точке
, а также найти уравнения векторных линий поля градиентов
скалярного поля
.
Убедиться в потенциальности поля вектора
,
Исходя
из определения производной, найти
f ¢(0) для f(x)=
Найти
производную показательно-степенной функции y=
.
Для
функции y(x), заданной неявно уравнением
xey yex+x=0, найти y¢x и
y¢¢xx (аналитические выражения и значения
в точке x0=0).
С помощью дифференциала
функции вычислить приближённо
при x = 7,76.
Многочлен
f(x)=3x4 22x3 + 60x2 73x + 39 по степеням x представить в виде
многочлена по степеням (x 2).
Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора:
f(x)=
ln2x, x0 =1.
Неопределенный
интеграл Пример .
Найти
интеграл
. Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по
частям:
.
Найти интеграл
.
Определенный
интеграл Вычисление определенного интеграла
Приложения
определенного интеграла Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Вычисление длины дуги кривой. Пример. Вычислить длину дуги кривой:
, между точками пересечения с осями координат.
Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от
параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать
некоторое значение параметра и потом посчитать x и y .
Тройной
интеграл в цилиндрических и сферических координатах
Вычислить
тройной интеграл
, где
Вычислить тройной интеграл
, где 
С помощью тройного интеграла наряду с другими
величинами можно вычислить
Применение
тройных интегралов. Масса неоднородного
тела
Тройной интеграл равен произведению значения
подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем
области интегрирования, т. е.
Цилиндрические координаты
Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо
взять равной 1, и мы получим 
Объём
цилиндрического тела. Двойной интеграл. Пусть в некоторой замкнутой области
D плоскости хОу определена ограниченная функция z = f(x,у), причём f(x,y)>0.
К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой
- область D; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой z=f(x,y)
боковая поверхность - цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной
оси Oz вдоль границы L области D.
Вычисление
двойного интеграла в декартовых координатах
Двойной интеграл
в полярных координатах
Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при
вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется
на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга.
Криволинейный интеграл первого рода
Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода
Криволинейный интеграл второго рода Пусть по кривой MN, расположенной в плоскости
хОу, движется материальная точка Р (х, у ), к которой приложена сила F , изменяющаяся
по величине и направлению при перемещении точки. Физическая задача вычисления
работы силы
при перемещении точки
Р из положения М в положение N приводит к понятию криволинейного интеграла второго
рода. Для этого кривая MN разбивается на п произвольных частей точками М=M1,M2,M3,…Mn=N
Вычислить криволинейный
интеграл первого рода
Формула
Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида
пути интегрирования
Поверхностный
интеграл первого рода Пусть f(x,y,z) - функция, непрерывная на гладкой поверхности
S. (Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная
плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности).
Поверхностный
интеграл второго рода К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит
физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S.
При этом, в каждой точке поверхности S задаётся векторная функция
(x,y,z) скорости жидкости. Поверхность
S называется двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому
контуру, лежащему на поверхности S, возвращается в первоначальное положение. Сторона
поверхности S задаётся выбором направления нормали к поверхности, в этом случае
поверхность называется ориентированной.
Изобразить на плоскости фигуру D. Вычислить массу пластины О с поверхностной
плотностью распределения μ=μ(х, у). Рекомендуется использовать полярную
систему координат.
С помощью
двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченную заданными линиями.