Производная функции Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u), u=u(x). При этом следует помнить, что
.
Производная и дифференциал. Исследование функций.
Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование
Замена переменной; интегрирование по частям
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Интегрирование рациональных функций Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь (многочлен в числителе, многочлен в знаменателе), обычно нужно ее упростить (как вы помните, это значит – представить в виде суммы).
Интегрирование тригонометрических выражений С тригонометрическими интегралами мы уже встречались ранее. Их особенностью, пожалуй, можно считать обилие тригонометрических формул, позволяющих преобразовывать подынтегральное выражение, что часто позволяет его упростить. Способов такого преобразования, как и способов замены переменной в тригонометрическом интеграле обычно много, но для некоторых типов интегралов известны стандартные действия, приводящие к ответу наиболее коротким путем. Их описанию и посвящен рассматриваемый параграф лекций. На наш взгляд, приведенный там материал достаточно прост и показателен, сделаем только два замечания
Функции нескольких переменных Пример. Найти область определения функции
Двойной интеграл Отметим здесь, что при интегрировании функции z(x; y) по переменной х, так же как и при дифференцировании, считают y=const и пользуются обычными правилами вычисления интеграла. При этом пределы интегрирования могут зависеть от у (но не от х).
ОДУ первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения Линейные уравнения и уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.
Определенные интегралы, несобственные интегралы
ОДУ высших порядков. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Найти модуль и аргумент чисел
и
. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.
Вычислить значение функции
в точке
, ответ представить в алгебраической форме комплексного числа
Проверить, может ли функция
быть действительной частью некоторой аналитической функции
.
Найти область плоскости
, в которую отображается с помощью функции
область
:
плоскости
.
Найти все лорановские разложения данной функции
по степеням
. Указать главную и правильную части ряда.
Разложить в ряд Лорана функцию
в окрестности особой точки
.
Вычислить интегралы от функции комплексного переменного
Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах
Изменить порядок интегрирования в интеграле
.
Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.
Найти объем тела
, ограниченного поверхностями
Найти массу пластинки (
):
,
Найти массу тела
;
;
;
; плотность массы тела
.
Вычислить криволинейный интеграл
Вычислить массу дуги кривой (
) при заданной плотности
:
Вычислить работу силы
при перемещении единичной массы вдоль кривой линии пересечения двух поверхностей:
от точки
до точки
Вычислить расходимость (дивергенцию) и вихрь (ротор) в произвольной точке
, а также найти уравнения векторных линий поля градиентов скалярного поля
.
Убедиться в потенциальности поля вектора
,
Исходя из определения производной, найти f ¢(0) для f(x)=
Найти производную показательно-степенной функции y=
.
Для функции y(x), заданной неявно уравнением xey yex+x=0, найти y¢x и y¢¢xx (аналитические выражения и значения в точке x0=0).
С помощью дифференциала функции вычислить приближённо
при x = 7,76.
Многочлен f(x)=3x4 22x3 + 60x2 73x + 39 по степеням x представить в виде многочлена по степеням (x 2).
Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: f(x)=
ln2x, x0 =1.
Неопределенный интеграл Пример .
Найти интеграл
. Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
.
Определенный интеграл Вычисление определенного интеграла
Приложения определенного интеграла Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Вычисление длины дуги кривой. Пример. Вычислить длину дуги кривой:
, между точками пересечения с осями координат. Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y .
Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
Вычислить тройной интеграл
, где
Вычислить тройной интеграл
, где
С помощью тройного интеграла наряду с другими величинами можно вычислить
Применение тройных интегралов. Масса неоднородного тела
Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.
Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим
Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. Пусть в некоторой замкнутой области D плоскости хОу определена ограниченная функция z = f(x,у), причём f(x,y)>0. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой - область D; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой z=f(x,y) боковая поверхность - цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной оси Oz вдоль границы L области D.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Двойной интеграл в полярных координатах
Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга.
Криволинейный интеграл первого рода
Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода
Криволинейный интеграл второго рода Пусть по кривой MN, расположенной в плоскости хОу, движется материальная точка Р (х, у ), к которой приложена сила F , изменяющаяся по величине и направлению при перемещении точки. Физическая задача вычисления работы силы
при перемещении точки Р из положения М в положение N приводит к понятию криволинейного интеграла второго рода. Для этого кривая MN разбивается на п произвольных частей точками М=M1,M2,M3,…Mn=N
Вычислить криволинейный интеграл первого рода
Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования
Поверхностный интеграл первого рода Пусть f(x,y,z) - функция, непрерывная на гладкой поверхности S. (Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности).
Поверхностный интеграл второго рода К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S. При этом, в каждой точке поверхности S задаётся векторная функция
(x,y,z) скорости жидкости. Поверхность S называется двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S, возвращается в первоначальное положение. Сторона поверхности S задаётся выбором направления нормали к поверхности, в этом случае поверхность называется ориентированной. Изобразить на плоскости фигуру D. Вычислить массу пластины О с поверхностной плотностью распределения μ=μ(х, у). Рекомендуется использовать полярную систему координат.
С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченную заданными линиями.
.
.
| Математика, физика примеры решений задач, контрольных, курсовых. | ||