Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математика лекции Системы линейных дифференциальных уравнений Неопределенный и определенный интегралы Найти интеграл Вычисление площади плоской фигуры Найти длину дуги кривой Выполним замену переменной ряд Фурье

Неопределенный и определенный интегралы

 Понятие неопределенного интеграла

Определение 1. Функция  называется первообразной функ-ции  на интервале , если для любого  выполняется равенство

.

Например, первообразной функции  является функ-ция , так как .

Очевидно, что , где  – постоянное слагаемое, также является первообразной функции , так как .

Теорема 1. Если функция  является первообразной функции  на , то множество всех первообразных для  задается формулой , где  – постоянное число.

Определение 2. Множество всех первообразных функций  для  называется неопределенным интегралом от функции  и обозначается символом .

Таким образом, по определению

  . (1)

Здесь  – подынтегральная функция;

 – подынтегральное выражение;

 – переменная интегрирования;

– знак неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Результат интегрирования проверяется дифференцированием.

 Основные свойства неопределенного интеграла

 Производная неопределенного интеграла равна подынтеграль-ной функции:

.

 Дифференциал от неопределенного интеграла равен подын-тегральному выражению:

.

 Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

,

в частности, .

 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

,

где  – .

 Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конеч-ного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интег-ралов от каждого слагаемого:

.

 Если  и  – дифференцируемая функция, то

,

то есть формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независи-мой переменной или любой функцией, имеющей непрерывную произ-водную.

 

  Правила интегрирования

Если , то

1) ;

2) ;

3) .

Пример 1.

.

Пример 2.

.

Пример 3.

.

1.4 Основные интегралы

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

2 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

2.1 Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции приводится к табличному интегралу, называется непосредственным интегрированием.

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. числитель поч-ленно разделим на знаменатель и запишем данный интеграл в виде разности двух интегралов

.

Сделаем проверку, для чего найдем производную от результата интегрирования:

.

Получили подынтегральную функцию, следовательно, интеграл нашли правильно.

Пример 5. Найти интеграл .

Решение. 

Ряды. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда, действия с рядами. Функциональные ряды, их интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды, радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье. Численные методы в решении задач дифференциального и интегрального исчисления.
Метод подведения под знак дифференциала интегралы