Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 3 Найти разложение в ряд Фурье для пилообразной функции, определенной в интервале [−π, π] и имеющей период 2π.
Решение. Определим коэффициенты Фурье для пилообразной волны.
Поскольку функция нечетная (рисунок 2), то a0 = an = 0.

     
Для вычисления последнего интеграла используем формулу интегрирования по частям:
     
Пусть . Тогда , и интеграл будет равен
     
Подставляя и для всех натуральных значений n, получаем
     
Следовательно, разложение в ряд Фурье прилообразной волны имеет вид (рисунок 2 выше)

     

  Пример 4 Предположим, что f (x) является периодической функцией с периодом 2π. Пусть для . Найти разложение Фурье для заданной параболической функции.


Решение.
Так как функция четная, то коэффициенты bn = 0. Тогда
     
Применим дважды интегрирование по частям.
     
Поскольку и для натуральных n, то получаем
     
Тогда разложение параболической функции в ряд Фурье имеет вид (рисунок 3)
     
Рис.3, n = 2, n = 5
Рис.4, n = 1, n = 2

 

Пример 5 Найти ряд Фурье для треугольной волны

     
определенной в интервале [−π, π].

Решение.
Постоянная a0 равна
     
Вычислим коэффициенты an:
     
Интегрируя по частям, можно записать
     
Тогда
     
Значения sin nx при x = 0 или x = ± π равны нулю. Поэтому
     
Если n = 2k, то . Если n = 2k + 1, то
Так как функция f (x) четная, то коэффициенты Фурье bn равны нулю. Таким образом, окончательное разложение треугольной волны в ряд Фурье выглядит следующим образом (см. рис.4 выше):

     

Пример 6 Найти разложение в ряд Фурье для функции

     
заданной в интервале [−π, π].

Решение.
Найдем сначала a0:
     
Далее вычислим коэффициенты an:
     
Заметим, что
     
Поскольку cos (n − 1)π = (−1)n −1, то для коэффициентов an получаем выражение
     
Видно, что an = 0 для нечетных n. Для четных n, когда n = 2k (k = 1,2,3,...), мы имеем
     
Вычислим теперь коэффициенты bn. Начнем с b1:
     
Остальные коэффициенты bn при n > 1 равны нулю. Действительно,
     
Таким образом, формула разложения заданной функции в ряд Фурье имеет вид
     
График функции и варианты разложения для n = 2 и n = 8 показаны на рисунке 5.
Рис.5, n = 2, n = 8
Рис.6, n = 10

 

Пример 7 Найти ряд Фурье для функции

     
определенной в интервале [−π, π].

Решение.
     
Вычислим коэффициенты an:
     
(Этот результат очевиден, поскольку заданная функция − нечетная.)

Определим коэффициенты разложения bn:
     
Таким образом, разложение в ряд Фурье определяется формулой
     
На рисунке 6 (выше) представлен график исходной прямоугольной функции и ее Фурье аппроксимации при n = 10.

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

image104 (527 bytes)
где image105 (86 bytes)  - точка, произвольно выбранная на дуге  image111 (99 bytes) разбиения кривой,
image112 (101 bytes) -  приращение аргумента функции на этом участке разбиения,
image106 (240 bytes) -  шаг разбиения,
image113 (131 bytes)- длина хорды, соединяющей концы дуги image111 (99 bytes),
кривая l разбивается произвольным образом на n частей image111 (99 bytes), k=1,2...n.


Решение задач на исследование функции Математический анализ