Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность
типа или .

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.


Это правило впервые упоминалось в книге по дифференциальному исчислению, опубликованной в 1696 (!) году французским математиком Гийомом Лопиталем (1661- 1704).
Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

Пример 1 Вычислить предел .


Решение.
Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:

     

Пример 2 Вычислить предел .


Решение.
Поскольку прямая подстановка приводит к неопределенности типа , применяем правило Лопиталя.
     

Пример 3 Вычислить предел .


Решение.
Здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . После простых преобразований, получаем
     

Пример 4 Найти предел .


Решение.
Используя правило Лопиталя, можно записать
     

Пример 5 Найти предел .


Решение.
Здесь мы встречаемся с неопределенностью типа . Обозначим . После логарифмирования получаем
     
Далее, по правилу Лопиталя, находим
     
Соответственно,
     

Пример 6 Найти предел .


Решение.
Предел содержит неопределенность типа . Пусть . Тогда
     
По правилу Лопиталя получаем
     
Следовательно,
     

Пример 7 Вычислить предел .


Решение.
Обозначим . Возьмем логарифм от обеих частей:
     
Найдем предел ln y.
     
Тогда
     

   Пример 8 Вычислить предел .


Решение.
Мы имеем здесь неопределенность типа . Пусть . Тогда после логарифмирования получаем
     
Используем правило Лопиталя дважды:
     
Следовательно,
     

Пример 9 Найти предел .


Решение.
Подстановка приводит к неопределенности типа . Обозначим . Прологарифмируем обе части этого равенства.
     
Применяя правило Лопиталя, получаем
     
Потенцируя, получаем окончательный ответ:
     

Пример 10 Найти предел .


Решение.
Предел имеет неопределенность типа . Применяем правило Лопиталя n раз.
     

   Пример 11 Вычислить предел .


Решение.
В соответствии с правилом Лопиталя дифференцируем числитель и знаменатель данной дроби несколько раз, пока не исчезнет неопределенность.
     

Пример 12 Вычислить предел .


Решение.
Здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . Пусть . Тогда
     
Предел равен
     
Как видно, после двукратного дифференцирования неопределенность еще не устранена. Поэтому дифференцируем числитель и знаменатель еще раз.
     
Отсюда находим
     

Число е

Число e выражается через предел следующим образом:

Это число является трансцендентным и приблизительно равно 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Выполнив подстановку , где , получим альтернативную формулу для данного предела:
Здесь мы имеем дело со степенными выражениями, когда и основание и степень стремятся к числу a (или к бесконечности). Во многих случаях такие пределы удобно вычислять, предварительно логарифмируя функцию под знаком предела.

Пример 1 Вычислить предел .


Решение.
     

Пример 2 Вычислить предел .


Решение.
Учитывая, что предел произведения нескольких функций равен произведению пределов от этих функций, получаем
     

Пример 3 Вычислить предел .


Решение.
Сделаем замену: , так что x = 6y и y → ∞, если x → ∞. В результате получаем
     

Пример 4 Вычислить предел .


Решение.

     

Пример 5 Вычислить предел .


Решение.
Сначала преобразуем основание функции:
     
Введем новую переменную: . Если , то и
     
В результате замены получаем
     

Пример 6 Вычислить предел .


Решение.
Предварительно преобразуем основание:
     
Пусть . Тогда
     
Теперь можно найти предел:
     

Пример 7 Вычислить предел .


Решение.
Преобразуем предел следующим образом:
     
Сделаем замену:
     
Здесь y → 0 когда x → ∞. Тогда предел равен
     

Пример 8 Найти предел .


Решение.
Пусть . Легко видеть, что при . Тогда
     
Сделаем еще одну замену:
     
Следовательно, предел равен:
     

Пример 9 Найти предел .


Решение.
Данный предел можно представить в следующей форме:
     
После взятия логарифма получаем
     
Заметим, что . Кроме того, при , поэтому предельный переход во втором пределе можно заменить на . Это приводит к следующему выражению:
     
Учитывая, что , получаем
     
Следовательно, .

Пример 10 Найти предел .


Решение.
Перепишем предел в следующем виде:
     
Прологарифмируем левую и правую части полученного выражения.
     
Видно, что . Тогда второй предел равен e. В результате получаем
     

Окончательный ответ: .

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

image104 (527 bytes)
где image105 (86 bytes)  - точка, произвольно выбранная на дуге  image111 (99 bytes) разбиения кривой,
image112 (101 bytes) -  приращение аргумента функции на этом участке разбиения,
image106 (240 bytes) -  шаг разбиения,
image113 (131 bytes)- длина хорды, соединяющей концы дуги image111 (99 bytes),
кривая l разбивается произвольным образом на n частей image111 (99 bytes), k=1,2...n.


Решение задач на исследование функции Математический анализ