Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Геометрическая прогрессия

Последовательность чисел {an} называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1.

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:

Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется выражением
Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел существует и конечен.
В противном случае прогрессия расходится.

Пусть представляет собой бесконечный ряд геометрической прогрессии. Данный ряд сходится к , если знаменатель |q| < 1, и расходится, если знаменатель |q| > 1

.

Пример 1 Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...


Решение.
Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем
     

Пример 2 Найти сумму ряда .


Решение.
Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q = − 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна

     

Пример 3 Найти сумму ряда

     

Решение.
Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен . Поскольку сумма геометрической прогрессии выражается формулой
     
то получаем следующий результат:

     

Пример 4 Выразить бесконечную периодическую дробь 0,131313... рациональным числом.


Решение.
Запишем периодическую дробь в следующем виде:
     
Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , получаем
     

Пример 5 Показать, что

     
при условии x > 1.

Решение.
Очевидно, что если x > 1, то . Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу , левую часть можно записать в виде
     
что доказывает исходное соотношение.

Пример 6 Решить уравнение

     

Решение.
Запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
     
Тогда уравнение принимает вид
     
Находим корни квадратного уравнения:
     
Поскольку |x| < 1, то решением будет .

Пример 7 Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма равна 112. Найти первый член и знаменатель прогрессии.


Решение.
Используем формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии
     
Так как второй член прогрессии равен , то получаем следующую систему уравнений для определения a1 и q:
     
Решая систему, получаем квадратное уравнение:
     
Это уравнение имеет два корня:
     
Для каждого знаменателя q найдем соответствующие первые члены:
     
Таким образом, задача имеет два решения:
     

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = eit, image122 (129 bytes)
Тогда image123 (287 bytes)
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
image124 (582 bytes)


Решение задач на исследование функции Математический анализ