Тройные интегралы в сферических координатахСферическими координатами точки
M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где
ρ − длина радиуса-вектора точки M;
φ − угол, образованный проекцией радиуса-векторана плоскость Oxy и осью Ox;
θ − угол отклонения радиуса-вектораот положительного направления оси Oz (рисунок 1).
Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга.
Рис.1
Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениямиЯкобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:
Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем
Соответственно, абсолютное значение якобиана равно
Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:
Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид![]()
f (x2 + y2 + z2) .
Иногда выгодно использовать т.н. обощенные сферические координаты, связанные с декартовыми формуламиВ этом случае якобиан равен![]()
![]()
Пример 1 Найти интеграл
, где область интегрирования U − шар, заданный уравнением
x2 + y2 + z2 = 25 .Поскольку область U представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от
Решение.f (x2 + y2 + z2) , то перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену:Новые переменные изменяются в пределах:
Учитывая якобиан![]()
ρ2sin θ , записываем интеграл в виде:![]()
Пример 2 Вычислить интеграл
где область U представляет собой единичный шар![]()
x2 + y2 + z2 ≤ 1 .Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования U описывается неравенствами
Решение.Записывая интеграл в сферических координатах, получаем
Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим![]()
![]()
Пример 3 Вычислить интеграл
![]()
xyzdxdydz , где область U представляет собой часть шараx2 + y2 + z2 ≤ R2 , расположенную в первом октантеx ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 .Перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену переменных:
Решение.Новые переменные будут изменяться в пределах:
Тогда интеграл в сферических координатах равен![]()
![]()
Пример 4 Найти тройной интеграл
где область U ограничена эллипсоидом![]()
Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным сферическим координатам путем следующей замены переменных:
Решение.Модуль якобиана данного преобразования равен![]()
|I| = abcρ2sin θ . Поэтому для дифференциалов справедливо соотношениеВ новых координатах интеграл принимает вид:
В данной системе координат область интегрирования U' (являющаяся эллипсоидом) определяется неравенствами
Тогда тройной интеграл становится равным![]()
![]()
Пример 5 Вычислить интеграл
используя сферические координаты
Область интегрирования представляет собой часть шара, расположенная в первом октанте (рисунки 2,3), и, следовательно, ограничена неравенствами
Решение.
Учитывая, что подынтегральное выражение равно
Рис.2 Рис.3а дифференциалы связаны соотношениями
получаем![]()
![]()
Вычислить интеграл
l
- верхняя полуокружность |z| = 1, обход l
против часовой стрелки.
Подинтегральная
функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция.
Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l
имеет простое параметрическое представление:
z = eit,
Тогда
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
Решение задач на исследование функции Математический анализ |