Тройные интегралы в сферических координатах

Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где

ρ − длина радиуса-вектора точки M;
φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;
θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1).

Рис.1

Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга.

Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:

Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем

Соответственно, абсолютное значение якобиана равно

Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:

Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид f (x² + y² + z²).

Иногда выгодно использовать т.н. обощенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами

В этом случае якобиан равен

Пример 1 Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x² + y² + z² = 25.

Решение.

Поскольку область U представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от f (x² + y² + z²), то перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену:

     

Новые переменные изменяются в пределах:

     

Учитывая якобиан ρ²sin θ, записываем интеграл в виде:

     

Пример 2 Вычислить интеграл

     

где область U представляет собой единичный шар x² + y² + z² ≤ 1.

Решение.

Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования U описывается неравенствами

     

Записывая интеграл в сферических координатах, получаем

     

Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим

     

   Пример 3 Вычислить интеграл xyzdxdydz, где область U представляет собой часть шара x² + y² + z² ≤ R², расположенную в первом октанте x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

Решение.

Перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену переменных:

     

Новые переменные будут изменяться в пределах:

     

Тогда интеграл в сферических координатах равен

     

Пример 4 Найти тройной интеграл

     

где область U ограничена эллипсоидом

     

Решение.

Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным сферическим координатам путем следующей замены переменных:

     

Модуль якобиана данного преобразования равен |I| = abcρ²sin θ. Поэтому для дифференциалов справедливо соотношение

     

В новых координатах интеграл принимает вид:

     

В данной системе координат область интегрирования U' (являющаяся эллипсоидом) определяется неравенствами

     

Тогда тройной интеграл становится равным

     

Пример 5 Вычислить интеграл

     

используя сферические координаты

Решение.

Область интегрирования представляет собой часть шара, расположенная в первом октанте (рисунки 2,3), и, следовательно, ограничена неравенствами

     

Рис.2		Рис.3

Учитывая, что подынтегральное выражение равно

     

а дифференциалы связаны соотношениями

     

получаем      

Вычислить интеграл
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = e^it,
Тогда
Подставляем в подинтегральное выражение имеем: