Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Тройные интегралы в цилиндрических координатах

В цилиндрических координатах положение точки M(x,y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами − ρ, φ, z , где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, φ − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z − проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах).

Рис.1
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями
Здесь предполагается, что
Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен
Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид:
Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

Пример 1 Вычислить интеграл

     
где область U ограничена поверхностью
x2 + y2 ≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1 (рисунок 2).
Рис.2
Рис.3

Решение.
Данный интеграл удобно вычислить в цилиндрических координатах. Проекция области интегрирования на плоскость Oxy представляет собой круг
x2 + y2 ≤ 1 или 0 ≤ ρ ≤ 1 (рисунок 3).

Заметим, что подынтегральное выражение записывается в виде
     
Тогда интеграл будет равен
     
Здесь во втором интеграле добавлен множитель ρ − якобиан преобразования декартовых координат в цилиндрические. Все три интеграла по каждой из переменной не зависят друг от друга. В результате тройной интеграл легко вычисляется:
     

Пример 2 Вычислить интеграл

     
где область U ограничена поверхностями
x2 + y2 = 3z, z = 3 (рисунок 4).
Рис.4
Рис.5

Решение.
Область интегрирования изображена на рисунке 4. Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрическим координатам:
     
Дифференциал при этом равен
     
Уравнение параболической поверхности принимает вид:
     
Проекция области интегрирования U на плоскость Oxy представляет собой окружность
x2 + y2 ≤ 9 радиусом ρ = 3 (рисунок 5). Координата ρ изменяется в пределах от 0 до 3, угол φ − от 0 до 2π, и координата z − от ρ/3 до 3. В результате интеграл будет равен

     

  Пример 3 Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла

     
Рис.6
Рис.7

Решение.
Область интегрирования U изображена на рисунке 6. Ее проекция на плоскость Oxy представляет собой круг
x2 + y2 = 22 (рисунок 7).

Новые переменные в цилиндрических координатах будут изменяться в пределах
     
Подставляя
x = ρ cos φ и y = ρ sin φ, найдем значение интеграла:
     

Пример 4 Вычислить интеграл, используя цилиндрические координаты:

     
Область U ограничена параболоидом  
z = 4 − x2y2, цилиндром x2 + y2 = 4 и плоскостями y = 0, z = 0 (рисунок 8).
Рис.8
Рис.9

Решение.
Изобразив схематически область интегрирования U, находим, что ее проекция на плоскость Oxy (область D) представляет собой полукруг радиусом
ρ = 2 (рисунок 9).

Перейдем к цилиндрическим координатам, применяя подстановки
     
Новые переменные будут изменяться в пределах
     
Теперь вычисляем интеграл:
     

Пример 5 Найти интеграл

     
где область U ограничена плоскостями
z = x + 1, z = 0 и цилиндрическими поверхностями x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4 (рисунок 10).
Рис.10
Рис.11

Решение.
Вычислим данный интеграл в цилиндрических координатах. Из условия
     
следует, что
     
Область интегрирования в плоскости Oxy представляет собой кольцо, ограниченное окружностями
x2 + y2 = 1 и x2 + y2 = 4 (рисунок 11). Следовательно, переменные ρ и φ изменяются в интервале
     
Находим интеграл:
     

Этот результат закономерен, поскольку область U симметрична относительно плоскости Oxz, а подынтегральная функция является четной.

Вычислить интеграл image121 (209 bytes)
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = eit, image122 (129 bytes)
Тогда image123 (287 bytes)
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
image124 (582 bytes)


Решение задач на исследование функции Математический анализ