Пример 5 Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ₀ радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.

Решение.

Рассмотрим точку M(x,y,z) полусферы, которая принадлежит малому участку поверхности dS (рисунок 5). Силу притяжения между элементом поверхности dS и массой m можно записать в виде

     

где G − гравитационная постоянная, − единичный вектор, направленный из точки O в точку M.
Так как , то можно записать

     

После интегрирования по поверхности полусферы получаем следующие выражения для компонентов силы притяжения:

     

В сферических координатах уравнение полусферы записывается в виде

     

где .
Известно, что элемент площади для сферы равен . Тогда компоненты силы притяжения будут равны

     

Заметим, что результат очевиден вследствие симметрии и однородности поверхности. Поэтому, результирующая сила направлена вдоль оси Oz.

Рис.5		Рис.6

 

Пример 6 Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H.

Решение.

В условиях гидростатического равновесия давление на поверхность дамбы зависит от координаты z в соответствии с формулой

     

где ρ − плотность воды, g − ускорение свободного падения.

Полная сила давления, действующая на плотину, будет равна

     

Вектор показывает направление действия силы . Абсолютное значение силы равно

     

  Пример 7 Вязкая жидкость течет в цилиндрической трубе радиусом R со скоростью (м·с⁻¹), где − единичный вектор, направленный вдоль оси трубы в сторону потока, r − расстояние от оси, C − некоторая константа (рисунок 7). Вычислить поток жидкости через поперечное сечение трубы.

Решение.

Для определения потока жидкости необходимо вычислить поверхностный интеграл

     

Так как векторы и сонаправлены, то поток равен

     

Переходя к полярным координатам, получаем

     

Последний интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Полагая

     

можно записать

     

Таким образом, поток жидкости равен

     

Рис.7		Рис.8

 

 

Пример 8 Определить электрическое поле бесконечной пластины с однородно распределенным зарядом плотностью σ.

Решение.

В силу симметрии системы вектор напряженности электрического поля должен быть перпендикулярен поверхности, а величина напряженности должна быть одинакова во всех точках, равноудаленных от пластины.

Рассмотрим условную гауссовскую поверхность в форме цилиндра с поперечным сечением S и высотой 2H (рисунок 8). Поток электрического смещения отличен от нуля лишь на основаниях цилиндра. Следовательно, , где E − электрическое поле в основаниях цилиндра. Полный заряд внутри цилиндрической поверхности равен . Тогда по теореме Гаусса получаем

     

Исследовать на конформность в точке z=¥ функцию w=iz-2.

Решение. Во всех точках z¹¥ производная существует и не равна нулю. При z=¥  , w=¥, поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: , и . В итоге, для исследования на конформность имеем функцию Эта функция в точке z=0 имеет производную не равную нулю.