Пример 5 Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0 радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.
Рассмотрим точку
Решение.M(x,y,z) полусферы, которая принадлежит малому участку поверхности dS (рисунок 5). Силу притяжениямежду элементом поверхности dS и массой m можно записать в виде
где G − гравитационная постоянная,![]()
− единичный вектор, направленный из точки O в точку M.
Так как, то можно записать
После интегрирования по поверхности полусферы получаем следующие выражения для компонентов силы притяжения:
В сферических координатах уравнение полусферы записывается в виде
где![]()
.
Известно, что элемент площади для сферы равен. Тогда компоненты силы притяжения будут равны
Заметим, что результат![]()
очевиден вследствие симметрии и однородности поверхности. Поэтому, результирующая сила
направлена вдоль оси Oz.
Рис.5 Рис.6
Пример 6 Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H.
В условиях гидростатического равновесия давление на поверхность дамбы зависит от координаты z в соответствии с формулой
Решение.где ρ − плотность воды, g − ускорение свободного падения.![]()
Полная сила давления, действующая на плотину, будет равнаВектор![]()
показывает направление действия силы
. Абсолютное значение силы равно
![]()
Пример 7 Вязкая жидкость течет в цилиндрической трубе радиусом R со скоростью
(м·с−1), где
− единичный вектор, направленный вдоль оси трубы в сторону потока, r − расстояние от оси, C − некоторая константа (рисунок 7). Вычислить поток жидкости через поперечное сечение трубы.
Для определения потока жидкости необходимо вычислить поверхностный интеграл
Решение.Так как векторы![]()
и
сонаправлены, то поток равен
Переходя к полярным координатам, получаем
Последний интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Полагая
можно записать
Таким образом, поток жидкости равен![]()
![]()
Рис.7 Рис.8
Пример 8 Определить электрическое поле бесконечной пластины с однородно распределенным зарядом плотностью σ.
В силу симметрии системы вектор напряженности электрического поля должен быть перпендикулярен поверхности, а величина напряженности должна быть одинакова во всех точках, равноудаленных от пластины.
Решение.
Рассмотрим условную гауссовскую поверхность в форме цилиндра с поперечным сечением S и высотой 2H (рисунок 8). Поток электрического смещения отличен от нуля лишь на основаниях цилиндра. Следовательно,, где E − электрическое поле в основаниях цилиндра. Полный заряд внутри цилиндрической поверхности равен
. Тогда по теореме Гаусса получаем
![]()
Исследовать на конформность в точке z=¥ функцию w=iz-2.
Решение.
Во всех точках z¹¥
производная существует и не равна нулю. При z=¥
, w=¥, поэтому, согласно
определению, необходимо сделать две замены: ,
и
.
В итоге, для исследования на конформность имеем функцию
Эта
функция в точке z=0 имеет производную
не равную нулю.
Решение задач на исследование функции Математический анализ |