Физические приложения двойных интегралов
Масса и статические моменты пластиныПредположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке(x, y) в области R равна. Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде
Статический момент пластины относительно оси![]()
Ox определяется формулойАналогично находится статический момент пластины относительно оси![]()
Oy :Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости Oxy с плотностью, распределенной по закону![]()
, описываются формулами
Для однородной пластины с плотностью![]()
для всех
(x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом. [an error occurred while processing this directive]
Моменты инерции пластиныМомент инерции пластины относительно осиOx выражается формулойАналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси![]()
Oy :Полярный момент инерции пластины равен![]()
Заряд пластиныПредположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией. Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением
Среднее значение функцииПриведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пустьf (x,y) является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости Oxy. Среднее значение функции μ функцииf (x,y) в области R определяется формулой![]()
где
− площадь области интегрирования R.
Пример 1 Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами
и
.
Заданная пластина имеет форму, показанную на рисунке 1. Поскольку пластина однородна, то можно положить
Решение.. Тогда масса пластины равна
Найдем теперь статические моменты относительно осей Ox и Oy.
Вычисляем координаты центра масс.![]()
![]()
Рис.1 Рис.2
Пример 2 Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми(рисунок 2) и имеющего плотность
.
Найдем момент инерции пластины относительно оси Ox.
Решение.Аналогично вычислим момент инерции относительно оси Oy.![]()
![]()
Пример 3 Электрический заряд по площади диска
таким образом, что его поверхностная плотность равна
. Вычислить полный заряд диска.
В полярных координатах область, занятая диском, описывается множеством
Решение.. Полный заряд будет равен
![]()
Физические приложения криволинейных интегралов
С помощью криволинейных интегралов вычисляются
Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.
- Масса кривой;
- Центр масс и моменты инерции кривой;
- Работа при перемещении тела в силовом поле;
- Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);
- Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).
Масса кривойПредположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностьюρ (x,y,z) . Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого родаЕсли кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции![]()
, то ее масса описывается формулой
В случае плоской кривой, заданной в плоскости Oxy, масса определяется как
или в параметрической форме![]()
Центр масс и моменты инерции кривойПусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотностиρ (x,y,z) . Тогда координаты центра масс кривой определяются формуламигде
− так называемые моменты первого порядка.![]()
Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz определяются формулами
Работа поляРабота при перемещении тела в силовом полевдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода
где![]()
− сила, действующая на тело,
− единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение
означает скалярное произведение векторов
и
.
Заметим, что силовое полене обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы
иногда может оказаться отрицательной.
Если векторное поля задано в координатной форме в видето работа поля вычисляется по формуле
В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой C в плоскости Oxy, справедлива формула
где![]()
.
Если траектория движения C определена через параметр t (t часто означает время), то формула для вычисления работы принимает видгде t изменяется в интервале от α до β.![]()
Если векторное полепотенциально, то работа по перемещению тела из точки A в точку B выражается формулой
где![]()
− потенциал поля.
Рис.1 Рис.2Закон АмпераКриволинейный интеграл от магнитного поля с индукциейвдоль замкнутого контура C пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C (рисунок 2). Это выражается формулой
где![]()
- магнитная проницаемость ваккуума, равная
Н/м.
Исследовать на конформность функцию в
расширенной комплексной области.
Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.
В
точке z=i значение функции w=¥,
поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию
в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования
производной и не равенства её нулю при z=i.
В
точке z=¥ w=1, поэтому
для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе»
перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥
на 0 с помощью замены переменного ).
Таким образом, для исследования берётся функция
в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.
Решение задач на исследование функции Математический анализ |