Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Теорема Остроградского-Гаусса

Обозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностью S с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле

компоненты которого имеют непрерывные частные производные.

Согласно формуле Остроградского-Гаусса,
где через
обозначена дивергенция векторного поля (она обозначается также символом ). Символ указывает, что поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности.

Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностные интегралы второго рода с соответствующими тройными интегралами.

Данную формулу можно записать также в координатной форме:
В частном случае, полагая , получаем формулу для вычисления объема тела G:

Пример 1 Вычислить поверхностный интеграл , где S − внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением .


Решение.
Используя формулу Остроградского-Гаусса, можно записать
     
Вычислим полученный тройной интеграл в сферических интегралах.
     

Пример 2 Применяя теорему Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, образованного цилиндром и плоскостями z = −1, z = 1 (рисунок 1).


Решение.
В соответствии с формулой Остроградского-Гаусса,
     
Вычисляя в цилиндрических координатах, получаем ответ:
     
Рис.1
Рис.2

Пример 3 Используя формулу Остроградского-Гаусса, оценить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, ограниченного и плоскостью z = 1.


Решение.
Данное тело схематически изображено на рисунке 2. Применяя теорему Остроградского-Гаусса, можно записать
     
Переходя к цилиндрическим координатам, получаем
     

Пример 4 Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S является поверхностью тетраэдра с вершинами O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1) (рисунок 3).


Решение.
По формуле Остроградского-Гаусса,
     
Вычислим полученный тройной интеграл. Уравнение прямой AB имеет вид
     
А уравнение плоскости ABC равно
     
Находим значение интеграла:
     
Рис.3
Рис.4

Пример 5 Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность параллелепипеда, образованного плоскостями x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0, z = 3 (рисунок 4).


Решение.
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:
     

Пример 6 Найти интеграл , где S − внешняя поверхность пирамиды (рисунок 5).


Решение.
Рис.5
Рис.6
Применяя формулу Остроградского-Гаусса можно записать искомый поверхностный интеграл в виде
     
Вычислим тройной интеграл. Область интегрирования в плоскости xy показана на рисунке 6. Полагая z = 0, получаем
     
Следовательно, область D можно представить в виде множества
     
Решая неравенство относительно переменной z, получаем
     
Тогда интеграл равен

Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


Решение задач на исследование функции Математический анализ