Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Интегрирование гиперболических функций

Шесть основных гиперболических функций определяются следующим образом:

  
  
  
Наиболее важные формулы дифференцирования и интегрирования гиперболических функций имеют вид:
  
  
  
  
  
  
Приведем еще несколько полезных соотношений:



  • Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки .
    Пример 1 Вычислить интеграл .

    Решение.
    Сделаем подстановку u = 2 + 3sh x, du = 3ch xdx. Тогда . Следовательно, интеграл равен
         

    Пример 2 Вычислить интеграл .


    Решение.
    Поскольку , и, следовательно, , интеграл можно переписать в виде
         
    Делая замену u = ch x, du = sh xdx, получаем

         

    Пример 3 Вычислить .


    Решение.
    Используем интегрирование по частям: . Пусть . Тогда . В результате находим интеграл
         

    Пример 4 Вычислить интеграл .


    Решение.
    Так как , то интеграл равен
         

    Пример 5 Найти интеграл .


    Решение.
    По определению, . Подставляя это в интеграл, получаем
         

      Пример 6 Найти интеграл .


    Решение.
    По определению, и . Следовательно,
         
    Сделаем замену u = e x, du = e xdx и вычислим искомый интеграл.
         

      Пример 7 Вычислить интеграл .


    Решение.
    Подставив формулы и , получаем
         

    Пример 8 Вычислить интеграл .


    Решение.
    Интегрируем по частям. Полагаем
         
    Интеграл принимает вид
         
    Применим интегрирование по частям еще раз. Теперь полагаем
         
    Получаем
         
    Решая полученное уравнение относительно , находим ответ
         

    Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

    Решение. В точках отличных от i и ¥ конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

    В точке z=i значение функции w=¥, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию   в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

    В точке z=¥ w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить ¥ на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция   в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.


    Решение задач на исследование функции Математический анализ