Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 6 Вычислить интеграл без использования замены переменной.


Решение.
Используя формулу двойного угла sin 2x = 2 sin x cos x и тождество sin2x + cos2x = 1, получаем
     

Интегральный признак Коши

Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд

сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если .

Пример 1 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Используем интегральный признак Коши. Вычислим соответствующий несобственный интеграл:
     
Таким образом, данный ряд расходится.

Пример 2 Показать, что обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1.

Решение.
Рассмотрим соответствующую функцию и применим интегральный признак. Несобственный интеграл равен
     
Видно, что обобщенный гармонический ряд сходится при значении p > 1

. Пример 3 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Вычислим соответствующий несобственный интеграл:
     
Таким образом, данный ряд расходится.

Пример 4 Исследовать ряд на сходимость.

Решение.
Оценим несобственный интеграл
     
Сделаем замену : . Тогда . Находим значение интеграла:
     
Поскольку данный интеграл расходится, то ряд также расходится.

Пример 5 Исследовать ряд на сходимость.

Решение.
Заметим, что . Тогда по признаку сравнения получаем
     
Используя интегральный признак, оценим сходимость ряда :
     
Поскольку несобственный интеграл сходится, то исходный числовой ряд также сходится.

Пример 6Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Применяя интегральный признак, вычислим соответствующий несобственный интеграл:
     
Интегрируем по частям:
     
Получаем
     
Предел в последнем выражении можно оценить по правилу Лопиталя:
     

Следовательно, несобственный интеграл конечен и равен 1. Поэтому, исходный ряд сходится.

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


медная патина по металлу, ral k5.
Решение задач на исследование функции Математический анализ