Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Несобственные интегралы

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Бесконечные пределы интегрирования
Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:
Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как
Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся.
В противном случае интегралы расходятся.

Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение
Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл также сходится; в противном случае он расходится.

Теоремы сравнения
Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что для всех x в интервале [a, ∞).
  1. Если сходится, то также сходится;

  2. Если расходится, то также расходится;

  3. Если сходится, то также сходится. В этом случае говорят, что интеграл является абсолютно сходящимся.

Интеграл от разрывной функции
Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случае несобственный интеграл определяется в виде
Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда
Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися.

Пусть f (x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки . Тогда справедливо соотношение
и говорят, что несобственный интеграл сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится.

Пример 1 Определить, при каких значениях k интеграл сходится.


Решение.
Используя определение несобственного интеграла, можно записать
     
Из этого выражения видно, что существует 2 случая:

Пример 2 Вычислить интеграл .


Решение.
     
Следовательно, данный интеграл сходится.

Пример 3 Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?


Решение.
Заметим, что для всех x ≥ 1.

Поскольку интеграл сходится (смотрите пример 1), то искомый интеграл также сходится по теореме сравнения 1.

Пример 4 Вычислить интеграл .


Решение.
Подынтегральная функция терпит разрыв в точке x = 0. (Интересно, как долго можно терпеть такое?). Поэтому, представим данный интеграл как сумму следующих двух интегралов:
     
По определению несобственного интеграла получаем
     
Исследуем первый интеграл.
     

Поскольку он расходится, то весь интеграл также расходится.

Пример 5 Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?


Решение.
Запишем интеграл в виде следующей суммы:
     
Используя определение несобственного интеграла, получаем
     

Как видно, оба предела существуют и конечны. Следовательно, искомый интеграл сходится.

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ