Пример 5 С помощью формулы Грина вычислить интеграл
, где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a). (рисунок 3).
В заданном криволинейном интеграле
Решение., так что
Тогда по формуле Грина получаем
Уравнение стороны AD имеет вид![]()
. Следовательно, полученный двойной интеграл вычисляется следующим образом
![]()
Рис.3 Рис.4Пример 6 С помощью формулы Грина найти интеграл
. Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте (рисунок 4).
В соответствии с формулой Грина
Решение.находим
Следовательно,
Переходя к полярным координатам, вычисляем интеграл![]()
![]()
Пример 7 Вычислить интеграл
с использованием формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой квадрат с вершинами в точках A (1,0), B (0,1), D (−1,0), E (0,−1) (рисунок 5).
В соответствии с формулой Грина запишем
Решение.Следовательно,
Найдем уравнения сторон квадрата:
Далее удобно ввести новые переменные. Пусть![]()
. Уравнения сторон квадрата записываются через новые переменные u и v в виде
Как видно, образ S первоначальной области интегрирования R является "более симпатичным" квадратом (рисунок 6). Найдем якобиан для нашей замены переменных.
Соответственно, абсолютное значение определителя обратной матрицы равно
Тогда
и интеграл имеет значение![]()
![]()
Рис.5 Рис.6
Пример 8 Вычислить интеграл
с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность
(рисунок 7).
Компоненты векторного поля и их частные производные равны
Решение.Тогда по формуле Грина получаем
Для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам.
Здесь
Таким образом, интеграл равен![]()
![]()
Рис.7Пример 9 Найти площадь области R, ограниченной астроидой
.
Вычислим площадь заданной области с использованием криволинейного интеграла по формуле
Решение.. Запишем данную формулу в параметрическом виде:
Подставляя сюда уравнения астроиды, получаем![]()
Пример 10 Проверить формулу Грина для векторного поля
и области интегрирования R, имеющей форму круга радиусом 2 с центром в начале координат.
Вычислим сначала криволинейный интеграл для данного векторного поля. Контуром интегрирования будет служить соответствующая окружность − граница области R.
Решение.Используя параметрические уравнения окружности
получаем
Далее воспользуемся тригонометрической формулой
Тогда криволинейный интеграл I1 равен
Теперь вычислим двойной интеграл:
В полярных координатах он становится равным
Как видно, I1 = I2.![]()
Вычислить интеграл
Решение.
Для подынтегральной функции
выполнено условие n-m+1=-1<0.
Далее
.
2.
Вычислить интеграл
Решение.
Условие леммы выполнено n
– m
+1 = -2 < 0. Нули знаменателя .
В верхнюю полуплоскость попадает нуль
,
являющийся полюсом второго порядка для f(z).
.
Откуда
.
Решение задач на исследование функции Математический анализ |