Пример 5 С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a). (рисунок 3).

Решение.

В заданном криволинейном интеграле , так что

     

Тогда по формуле Грина получаем

     

Уравнение стороны AD имеет вид . Следовательно, полученный двойной интеграл вычисляется следующим образом

     

Рис.3		Рис.4

Пример 6 С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте (рисунок 4).

Решение.

В соответствии с формулой Грина

     

находим

     

Следовательно,

     

Переходя к полярным координатам, вычисляем интеграл

     

Пример 7 Вычислить интеграл с использованием формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой квадрат с вершинами в точках A (1,0), B (0,1), D (−1,0), E (0,−1) (рисунок 5).

Решение.

В соответствии с формулой Грина запишем

     

Следовательно,

     

Найдем уравнения сторон квадрата:

     

Далее удобно ввести новые переменные. Пусть . Уравнения сторон квадрата записываются через новые переменные u и v в виде

     

Как видно, образ S первоначальной области интегрирования R является "более симпатичным" квадратом (рисунок 6). Найдем якобиан для нашей замены переменных.

     

Соответственно, абсолютное значение определителя обратной матрицы равно

     

Тогда

     

и интеграл имеет значение

     

Рис.5		Рис.6

 

Пример 8 Вычислить интеграл с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность (рисунок 7).

Решение.

Компоненты векторного поля и их частные производные равны

     

Тогда по формуле Грина получаем

     

Для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам.

     

Здесь

     

Таким образом, интеграл равен

     

Рис.7

Пример 9 Найти площадь области R, ограниченной астроидой .

Решение.

Вычислим площадь заданной области с использованием криволинейного интеграла по формуле . Запишем данную формулу в параметрическом виде:

     

Подставляя сюда уравнения астроиды, получаем

     

  Пример 10 Проверить формулу Грина для векторного поля и области интегрирования R, имеющей форму круга радиусом 2 с центром в начале координат.

Решение.

Вычислим сначала криволинейный интеграл для данного векторного поля. Контуром интегрирования будет служить соответствующая окружность − граница области R.

     

Используя параметрические уравнения окружности

     

получаем

     

Далее воспользуемся тригонометрической формулой

     

Тогда криволинейный интеграл I₁ равен

     

Теперь вычислим двойной интеграл:

     

В полярных координатах он становится равным

     

Как видно, I₁ = I₂.

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

.

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено n – m +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .