Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 5 С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a). (рисунок 3).


Решение.
В заданном криволинейном интеграле , так что
     
Тогда по формуле Грина получаем
     
Уравнение стороны AD имеет вид . Следовательно, полученный двойной интеграл вычисляется следующим образом
     
Рис.3
Рис.4

Пример 6 С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте (рисунок 4).


Решение.
В соответствии с формулой Грина
     
находим
     
Следовательно,
     
Переходя к полярным координатам, вычисляем интеграл
     

Пример 7 Вычислить интеграл с использованием формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой квадрат с вершинами в точках A (1,0), B (0,1), D (−1,0), E (0,−1) (рисунок 5).


Решение.
В соответствии с формулой Грина запишем
     
Следовательно,
     
Найдем уравнения сторон квадрата:
     
Далее удобно ввести новые переменные. Пусть . Уравнения сторон квадрата записываются через новые переменные u и v в виде
     
Как видно, образ S первоначальной области интегрирования R является "более симпатичным" квадратом (рисунок 6). Найдем якобиан для нашей замены переменных.
     
Соответственно, абсолютное значение определителя обратной матрицы равно
     
Тогда
     
и интеграл имеет значение
     
Рис.5
Рис.6

 

Пример 8 Вычислить интеграл с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность (рисунок 7).


Решение.
Компоненты векторного поля и их частные производные равны
     
Тогда по формуле Грина получаем
     
Для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам.
     
Здесь
     
Таким образом, интеграл равен
     
Рис.7

Пример 9 Найти площадь области R, ограниченной астроидой .


Решение.
Вычислим площадь заданной области с использованием криволинейного интеграла по формуле . Запишем данную формулу в параметрическом виде:
     
Подставляя сюда уравнения астроиды, получаем
     

  Пример 10 Проверить формулу Грина для векторного поля и области интегрирования R, имеющей форму круга радиусом 2 с центром в начале координат.


Решение.
Вычислим сначала криволинейный интеграл для данного векторного поля. Контуром интегрирования будет служить соответствующая окружность − граница области R.
     
Используя параметрические уравнения окружности
     
получаем
     
Далее воспользуемся тригонометрической формулой
     
Тогда криволинейный интеграл I1 равен
     
Теперь вычислим двойной интеграл:
     
В полярных координатах он становится равным
     
Как видно, I1 = I2.

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ