Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 4 Вычислить объем эллипсоида .
Решение.

Для нахождения объема используем формулу
     
Поверхность эллипсоида можно представить в параметричсекой форме следующим образом:
     
(Переменные u,v соответствуют сферическим координатам ψ и θ.)
В формуле для объема векторное поле имеет координаты , поэтому
     
Поскольку
     
то получаем следующее выражение для поверхностного интеграла
     
Следовательно, объем эллипсоида равен
     

Пример 2 Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой окружность, заданную уравнением .


Решение.
Сначала запишем компоненты векторного поля
     
и определим частные производные:
     
Следовательно, интеграл можно записать в следующем виде
     
В последнем равенстве двойной интеграл численно равен площади круга , то есть . Тогда интеграл равен
     

Пример 3 Используя формулу Грина, вычислить интеграл . Кривая C представляет собой окружность (рисунок 1), обход которой производится против часовой стрелки.


Решение.
Запишем компоненты векторного поля и их производные:
     
Тогда
     
где R − круг радиуса a с центром в начале координат. Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:
     
Рис.1
Рис.2

 

Пример 4 Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс (рисунок 2).


Решение.
Применим формулу Грина
     
Очевидно, здесь
     
Следовательно,
     
Поскольку двойной интеграл численно равен площади эллипса , то интеграл равен

     

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ