Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Геометрические приложения поверхностных интегралов

С помощью поверхностных интегралов вычисляются

Площадь поверхности
Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом
Если поверхность S задана параметрически с помощью вектора
то площадь поверхности будет равна
где D(u,v) − это область, в которой задана поверхность.

Если поверхность S задана в явном виде функцией z(x,y), то площадь поверхности выражается формулой
где D(x,y) − проекция поверхности S на плоскость xy.

Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью
Предположим, что тело ограничено некоторой гладкой, замкнутой поверхностью S. Тогда объем тела определяется по формуле

Пример 1 Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.


Решение.
Площади заданной поверхности равна
     
Переходя к полярным координатам, находим ответ:

     

Пример 2 Найти площадь полусферы радиуса R.


Решение.
В сферических координатах поверхность верхней полусферы описывается в виде
     
где (рисунок 1).
Вычислим дифференциальный элемент площади.
     
Найдем векторное произведение данных векторов:
     
Следовательно, элемент площади будет равен
     
Отсюда вычисляем площадь полусферы:
     
Рис.1
Рис.2

 

 

Пример 3 Вычислить площадь поверхности тора, заданного уравнением в цилиндрических координатах.


Решение.
Параметрические уравнения тора имеют вид (рисунок 2):
     
Убедимся, что эти уравнения правильно описывают окружность в сечении тора. Действительно, поскольку , то после подстановки получаем
     
Таким образом, поверхность тора описывается следующим вектором:
     
Для вычисления площади поверхности воспользуемся формулой
     
Входящее в эту формулу векторное произведение имеет вид
     
Тогда модуль векторного произведения равен
     
Отсюда находим площадь поверхности тора:

     

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ