Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 7 Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2 (рисунок 7).


Решение.
Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла.
     
Найдем отдельно каждый из интегралов.
     
Следовательно, плошадь заданной области равна
     

Пример 8 Найти площадь области, ограниченной эллипсом, заданным параметрически в виде (рисунок 8).


Решение.
1) Применим сначала формулу . Получаем
     
Площадь данной фигуры можно вычислить, используя также и две другие формулы:
Рис.8
Рис.9

 

Пример 9 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой , и прямыми x = 0, x = , y = 0.


Решение.
Данное тело вращения схематически показано на рисунке 9. Объем этого тела найдем по формуле
     
Вычислим криволинейные интегралы
     
Следовательно, объем тела равен
     

Пример 10 Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса с полуосями a и b вокруг оси Оx. (рисунок 10).

Рис.10

Решение.
Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса
     
Мы можем ограничиться рассмотрением половины эллипса, лежащей в верхней полуплоскости y ≥ 0. Тогда объем эллипсоида с полуосями a, b, b будет равен
     
где под функцией y(x) подразумевается верхняя половина эллипса. Переходя к параметрической форме записи, находим объем
     
Отсюда, в частности, следует, что объем шара (при этом a = b = R)

равен .

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ