Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 4 Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом фиде вектором в интервале (рисунок 5).


Решение.
Воспользуемся формулой
     
Здесь производные равны
     
Тогда длина циклоиды имеет значение
     
Рис.5

Пример 5 Вычислить длину параболы в интервале .


Решение.
Применяя формулу
     
находим, что
     
Для вычисления полученного интеграла сделаем замену . Следовательно, . При x = 0 получаем  t = arctg 0 = 0, а при x = 1 − соответственно, t = arctg 2. Тогда длина участка параболы равна
     
Сделаем еще одну замену. Положим . Если t = 0, то z = 0. Если , то
     
В приведенном выше выражении мы использовали тригонометрическое соотношение
     
В результате длина кривой равна
     
Разложим подынтегральное выражение на сумму элементарных рациональных дробей.
     
Следовательно,
     
Решая данную систему уравнений, находим коэффициенты
     
Таким образом,
     

Пример 6 Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением (рисунок 6).


Решение.
Используем соотношение
     
Длина кардиоиды выражается в виде
     
Заметим, что при , и при . Следовательно,
     
Записывая последний интеграл в виде суммы 2 интегралов, находим длину кардиоиды.
     
Рис.6

Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

 

.

 

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено nm +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .


Решение задач на исследование функции Математический анализ