Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Пример Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .
Решение.

Сначала определим точки пересечения двух заданных линий.
     
Следовательно, координаты точек пересечения равны
     
Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ:
     
Получаем

     

Пример 3 Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями .


Решение.
Данное тело показано на рисунке 6.
Рис.6
Из рисунка видно, что основание R является квадратом. Для заданных x, y значение z изменяется от z = x до z = 4 − x. Тогда объем равен

     

Пример 4 Описать тело, объем которого определяется интегралом .


Решение.
Рис.7
Рис.8
Данное тело (рис.7,8) расположено над треугольной областью R, ограниченной координатными осями Ox, Oy и прямой y = 1 − x ниже параболической поверхности . Объем тела равен

     

Пример 5 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .


Решение.
Рис.9
Рис.10
Данное тело лежит над треугольником R в плоскости Oxy (рисунки 9,10) ниже поверхности z = xy. Объем тела равен
     

Пример 6 Найти объем тела, ограниченного поверхностями .


Решение.
Рис.11
Рис.12
Как видно из рисунков 11 и 12, в области интегрирования R при значения y изменяются от 1 − x до . Сверху тело ограничено плоскостью z = 1 − x. Следовательно, объем данного тела равен
     
Вычислим полученные три интеграла отдельно.
     
Сделаем замену: . Тогда . Видно, что t = 0 при x = 0, и при x = 1. Следовательно,
     
(Сравните с площадью сектора единичного круга в первом квадранте).

Вычислим второй интеграл , используя замену переменной. Полагаем . Тогда . Находим, что w = 1 при x = 0, и, наоборот, w = 0 при x = 1. Интеграл равен
     
Наконец, вычислим третий интеграл.
     
Таким образом, объем тела равен
     

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Все особые точки подынтегральной функции лежат не окружности радиуса , и, таким образом, попадают внутрь контура интегрирования. Следовательно, интеграл будет равен

. Для вычисления вычета в ¥воспользуемся разложением в ряд Лорана


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла