Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Пример Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .


Решение.
Область интегрирования R представлена на рисунке 9.
Рис.9
Рис.10
Образ S данной области описывается множеством и показан на рисунке 10. Запишем исходный двойной интеграл в полярных координатах.
     
Вычислим последний интеграл с помощью интегрирования по частям:
     
Пусть . Тогда . Следовательно,
     

Двойные интегралы в произвольной области

Пусть область интегрирования R типа I (элементарная относительно оси Oy) ограничена графиками функций . При этом выполняются неравенства и для всех . Тогда двойной интеграл по области R выражается через повторный по формуле

Аналогичное соотношение существует и для области типа II. Пусть область интегрирования R типа II (элементарная относительно оси Ox) ограничена графиками функций при условии, что и для всех . Тогда двойной интеграл, заданный в области R, выражается через повторный интеграл по формуле
При решении задач иногда полезно разбить исходную область интегрирования R на две или более областей и вычислять двойной интеграл в каждой области отдельно.

Пример 1 Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена графиками функций .


Решение.
Область интегрирования R задана множеством и относится к типу I (рисунок 1). Выразим двойной интеграл через повторный:
     
Вычислим сначала внутренний интеграл.
     
Теперь найдем внешний интеграл.
     
Рис.1
Рис.2

 

Пример 2 Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена прямыми .


Решение.
Область R представляется в виде множества (рисунок 2) и является областью I типа (элементарной относительно оси Oy). Преобразуя двойной интеграл в повторный, получаем:

     

Пример 3 Вычислить интеграл , в котором область интегрирования R ограничена графиками функций .


Решение.
Область R показана ниже на рисунке 3. Кривая и линейная функция пересекаются в точке (1,1). Следовательно, двойной интеграл равен
     
Рис.3
Рис.4

 

Пример 4 Найти интеграл , где область R представляет собой сегмент окружности. Границы сегмента заданы уравнениями .


Решение.
Окружность имеет радиус 2 и центр в начале координат. Область интегрирования показана на рисунке 4. Поскольку верхняя полуокружность описывается уравнением , то двойной интеграл вычисляется следующим образом:
     

Пример 5 Найти интеграл , заданный в области R, ограниченной прямыми .


Решение.
Область интегрирования R показана ниже на рисунке 5. Рассматривая ее как область типа II (элементарную относительно оси Ox, двойной интеграл можно преобразовать в повторный и вычислить следующим образом:
     
Рис.5
Рис.6

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Все особые точки подынтегральной функции лежат не окружности радиуса , и, таким образом, попадают внутрь контура интегрирования. Следовательно, интеграл будет равен

. Для вычисления вычета в ¥воспользуемся разложением в ряд Лорана


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла