Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Двойные интегралы в полярных координатах

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).

Рис.1
Рис.2
Якобиан такого преобразования имеет вид
Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен
Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2):
Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой
Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям
В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид
Будьте внимательны, чтобы не пропустить сомножитель (якобиан) r в правой части этой формулы!
Рис.3
Рис.4

Пример 1 Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор круга радиусом .


Решение.
Область R в полярных координатах описывается множеством (рисунок 4). Применяя формулу
     
получаем
     

Пример 2 Вычислить интеграл , в котором область интегрирования R представляет собой кольцо, ограниченное окружностями и .


Решение.
В полярных координатах область интегрирования R является полярным прямоугольником (рисунок 5):
     
Рис.5
Рис.6
Тогда, используя формулу
     
находим значение интеграла

     

 

  Пример 3 Найти интеграл , где область интегрирования R ограничена кардиоидой (рисунок 6).


Решение.
Данный интеграл легко решается после перехода к полярным координатам.

     

Пример 4 Вычислить интеграл в круге .


Решение.
Область интегрирования R показана на рисунке 7.
Рис.7
Рис.8
Преобразуем уравнение окружности следующим образом:
     
Подставляя , найдем уравнение окружности в полярных координатах.
     
Образ S области интегрирования R показан на рисунке 8. После перехода к полярным координатам вычисляем двойной интеграл.
     

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Все особые точки подынтегральной функции лежат не окружности радиуса , и, таким образом, попадают внутрь контура интегрирования. Следовательно, интеграл будет равен

. Для вычисления вычета в ¥воспользуемся разложением в ряд Лорана


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла