Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Пример 2 Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .


Решение.
Область интегрирования R имеет вид неправильного треугольника и показана на рисунке 3. Чтобы упростить ее, введем новые переменные: . Выразим x, y через u, v и определим образ области интегрирования S в новой системе координат. Легко видеть, что
     
Рис.3
Рис.4
Заметим, что
     
Следовательно,
     
Таким образом, мы получаем
     
Если , то . Соответственно, если , то . Область S имеет вид прямоугольного треугольника (рисунок 4 выше).

Уравнение стороны можно переписать в виде
     
Найдем якобиан.
     
Следовательно, и двойной интеграл становится равным

     

   Пример 3

Вычислить интеграл , где область R ограничена параболами и гиперболами .


Решение.
Область R схематически показана на рисунке 5.
Рис.5
Для упрощения области R сделаем замену переменных.
     
Образ S области R определяется следующим образом:
     
Как видно, образ S является прямоугольником. Для нахождения якобиана выразим переменные x, y через u, v.
     
Отсюда следует
     
Находим якобиан данного преобразования.
     
Соотношение между дифференциалами имеет вид
     
Теперь легко найти искомый интеграл:

     

  Пример 4 Вычислить интеграл , где область R ограничена прямыми .


Решение.
Область интегрирования R имеет форму параллелограмма и показана на рисунке 6.
Рис.6
Рис.7
Сделаем следующую замену переменных:
     
Цель этой замены − упростить область интегрирования R.
Найдем образ S области R в новых координатах u, v.
     
Из рисунка 7 видно, что область S представляет собой прямоугольник. Вычислим якобиан.
     
так что
     
Теперь можно вычислить двойной интеграл.
     

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Все особые точки подынтегральной функции лежат не окружности радиуса , и, таким образом, попадают внутрь контура интегрирования. Следовательно, интеграл будет равен

. Для вычисления вычета в ¥воспользуемся разложением в ряд Лорана


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла