Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Пример Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 6 и параболоидом x2 + y2 = z.
Решение.

Определим сначала линию пересечения поверхностей. Подставляя уравнение параболоида в уравнение сферы, находим:
     
Второй корень z2 = −3 соответствует пересечению сферы с нижней полостью параболоида. Этот случай мы не рассматриваем. Таким образом, перечение тел происходит при z = 2. Очевидно, что проекция области интегрирования на плоскость Oxy имеет вид окружности (рисунок 8), заданной уравнением x2 + y2 = 2.
Рис.8
Рис.9
Сверху область интегрирования ограничена сферической поверхностью, а снизу − параболоидом (рисунок 9). Объем данной области выражается интегралом
     
Удобно перейти к цилиндрическим координатам:
     
где ρ2 = x2 + x2 и интеграл включает якобиан ρ. Получаем:
     
Заменим ρ2 = t. Здесь t = 0 при ρ = 0, и, соответственно, t = 2 при ρ = √2. [an error occurred while processing this directive]

Окончательно вычисляем объем тела:
     

  Пример 8 Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом  z = 2 − x2 − y2 и конической поверхностью
.


Решение.
Исследуем сначала пересечение двух заданных поверхностей. Приравнивая координаты z, получаем уравнение
     
Пусть x2 + y2 = t2. Тогда
     
В контексте данной задачи смысл имеет лишь корень t = 1, то есть
     
Итак, обе поверхности пересекаются при z = 1, и сечение представляет собой круг (рисунок 10)
Рис.10
Рис.11
Область интегрирования сверху ограничена параболоидом , а снизу − конусом (рисунок 11). Для вычисления объема области перейдем к цилиндрическим координатам:
     
В результате находим
     

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

. Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥ имеет вид


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла