Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 1 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Поскольку , то выполнен достаточный признак расходимости ряда. Таким образом, ряд расходится.

Пример 2 Исследовать сходимость ряда .

Решение.
Вычислим предел . Заменяя числовую последовательность на неперрывную функцию и применяя правило Лопиталя, получаем
     
Следовательно исходный числовой ряд расходится (выполнено достаточное условие расходимости).

Пример 3 Показать, что гармонический ряд расходится.

Решение.
Запишем данный ряд в следующем виде:
     

Поэтому . Следовательно, гармонический ряд является расходящимся.
Этот факт впервые доказал средневековый французский экономист и математик Николь Орезм, живший более 600 лет назад.

  Пример 4 Исследователь сходимость ряда .

Решение.
Данный ряд сходится, поскольку он является суммой двух сходящихся рядов − . Оба этих ряда представляют собой бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем |q| < 1. Тогда
     
Следовательно, сумма исходного ряда равна
     

Пример 5 Исследовать сходимость ряда .

Решение.
Видно, что
     
Тогда n-частичная сумма будет равна
     
Вычислим предел Sn при n → ∞:
     
Следовательно, ряд сходится.

Пример 6 Определить, сходится или расходится ряд

     

Решение.
Запишем выражение для n-частичной суммы:
     
Легко видеть, что
     
Тогда
     
Отсюда находим, что
     

Таким образом, заданный ряд сходится к 1.

Пример 7 Исследовать сходимость ряда .

Решение.
Запишем общий член ряда в виде
     
Вычислим n-частичную сумму:
     

Поскольку , то данный ряд расходится.

  Ортогональные полиномы и обобщенный ряд Фурье

Ортогональные полиномы
Два полинома, заданные на интервале [a,b] являются ортогональными, если выполнено условие
где w(x) − неотрицательная весовая функция.

Множество полиномов pn (x), n = 0, 1, 2,... , где n − степень полинома pn (x), образуют систему ортогональных полиномов, если справедливо равенство
где cn − заданные константы, а δmnсимвол Кронекера.
Обобщенный ряд Фурье
Обобщенным рядом Фурье для некоторой функции называется ее разложение в ряд на основе системы ортогональных полиномов. Любая кусочно непрерывная функция может быть представлена в виде обобщенного ряда Фурье:
Ниже мы рассмотрим 4 вида ортогональных полиномов: полиномы Эрмита, Лагерра, Лежандра и Чебышева.
Полиномы Эрмита
Полиномы Эрмита ортогональны с весовой функцией на интервале (− ∞, ∞):
Иногда используется альтернативное определение, в котором весовая функция равна . Это соглашение распространено в теории вероятностей, в частности, из-за того, что плотность нормального распределения описывается функцией .
Полиномы Лагерра
Полиномы Лагерра ортогональны с весовой функцией на интервале (0, ∞):
Полиномы Лежандра
Полиномы Лежандра ортогональны на интервале [− 1, 1]:
Полиномы Чебышева
Полиномы Чебышева первого рода ортогональны на отрезке [− 1, 1] с весовой функцией :

Пример 1 Показать, что множество функций

     
ортогонально на отрезке [− π, π].

Решение.
Вычислим следующие интегралы:
     
Первый интеграл равен
     
Если m ≠ n, то
     
В случае m = n получаем
     
Таким образом,
     
Аналогично находим, что
     
Это значит, что последовательность функций
     
образует ортогональную систему на интервале [− π, π].

Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

.

Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.


Решение задач на исследование функции Математический анализ