Строительная механика Детали машин Электроника Электротехника Энергетика Физика Машиностроительное черчение Начертательная геометрия Решение задач типового задания из учебника Кузнецова Вычислить интеграл ТФКП Вычислить интеграл
Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Вычислить сумму ряда . Указание: применить формулу Парсеваля к функции f (x) = x.

 


Решение.
Разложение в ряд Фурье функции f (x) = x в интервале [−π, π] имеет вид
     


Здесь коэффициенты Фурье имеют следующие значения: (поскольку функция f (x) = x нечетная) и . Используя формулу Парсеваля. получаем
     
Отметим, что называется дзета-функцией Римана ζ (s). Таким образом, мы доказали, что .
Применить формулу Парсеваля к функции .

Решение.
В примере 4 на странице Определение ряда Фурье и типичные примеры было найдено разложение функции в ряд Фурье в интервале [−π, π]:
     
где
     
Записывая равенство Парсеваля для этой функции, получаем
     
Ряд известен как дзета-функция Римана ζ (s). Следовательно,
     

Применяя формулу Парсеваля к функции

     
найти суммы рядов .

Решение.
Разложение данной функции в ряд Фурье имеет вид (попробуйте найти это самостоятельно):
     
Коэффициенты Фурье в этом разложении равны
     
Применяя к данной функции равенство Парсеваля
     
получаем
     
Несложно также найти и сумму ряда :
     
Здесь (смотрите пример 1 выше). Следовательно,

     

Вычислить сумму ряда .


Решение.
В предыдущей задаче было найдено, что
     
Полагая , получаем
     
Можно заметить, что
     
Следовательно,
     
Тогда сумма ряда равна
     

Сходимость рядов. Признаки сравнения

Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Признаки сравнения рядов
Даны два ряда и − такие, что для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:
  • Если сходится, то также сходится;
  • Если расходится, то также расходится.
  • Предельные признаки сравнения рядов
    Пусть даны два ряда и , у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:
    Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1

    Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

    Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

    .

    Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.


    Решение задач на исследование функции Математический анализ