Математика решение задач на вычисление интеграла

Курс лекций по строительной механике
Детали машин принципы проектирования
Основы конструирования
Курс лекций техники живописи
	Техника живописи
	Киноварь
	Искусственный  ультрамарин
	Слоновая кость
	Архитектура Киевской Руси
	Акварель
	Живопись гуашью
	Живопись старинной темперой
	Живопись современной темперой
	Пастель
	Масляная живопись
	Трещины в слоях масляной живописи
	Эмульсионные краски Мароже и Мурие
	Рецепт клеевого грунта для холста
	Подготовка стен для живописи
	Фламандский метод живописи масляными красками
	Техника живописи Леонардо да Винчи
	Стенная декоративная живопись
	Темпера на цельном яйце
	Итальянская фреска
	Живопись по твердой штукатурке
	Кузмин теоретик эмоционализма
	Зарождение Абстрактного искусства
	Психологическая теория цветовой гармонии
	История искусства
	Балетный театр
	История искусства средних веков
	Техника живописи различных мастеров Джорджоне и Тициан
Лекции и задачи по физике
Расчет электротехнических цепей
Электротехника и электроника
Физика атома
Электромагнетизм
Физические основы механики
Молекулярная физика
Оптика
Оптическая физика
Электричество
Постоянный ток
Лабораторные работы по электронике
Операционный инвертирующий усилитель
Работа электрических машин и аппаратов
	Машины постоянного тока.
	Асинхронный двигатель
	Трансформатор
	Закон полного тока
Элементы зонной теории твердого тела
	Физическая природа проводимости
	Проводниковые материалы
	Сплавы высокого сопротивления
	Припои
Полупроводниковые материалы
	Примесная электропроводность полупроводников.
	Электропроводность собственных  полупроводников
Микроволновый диапазон
	Классификация приборов микроволнового диапазона
	Технологические особенности изготовления диодов СВЧ диапазона
	Туннельный диод
	Диод Шоттки
	Высокочастотные полевые транзисторы
Физические основы работы квантовых приборов оптического диапазона
	Квантовые переходы
	Возможность усиления электромагнитного поля
Распространение электромагнитных волн
	Энергия электромагнитного поля
	Плоские электромагнитные волны
	Распространение волн в реальных диэлектриках
	Элементарный электрический излучатель
	Волны в коаксиальной линии
	Колебательные системы СВЧ.
Начертательная геометрия
Аксонометрия и проекции
Машиностроительное черчение
	Сварные соединения
	При соединении пайкой
	Изображение цилиндрической зубчатой передачи
	Параметры зубчатых колес
	Червячная передача
	Рабочий чертеж червячного колеса
	Чертеж общего вида и сборочный чертеж
	Особенности нанесения размеров
	Изображения и штриховка сечений
	Детали сборочных единиц
	Сборочные чертежи неразьеных соединений
	Шероховатость механической обработки
	Сборочный чертеж сварного соединения
	Сборочный чертеж армированного изделия
	Электрические схемы
Система автоматизированного проектирования (САПР)
Классификация информационно -вычислительных систем
Иерархия протоколов вычислительной сети
Пользовательские процессы и уровни управления в ИВС
Обзор сетевых операционных систем
Математика задачи
Задачи контрольной работы
Математика функции
Математический анализ
Линейная алгебра
Дифференциальные уравнения
Требуется вычислить циркуляцию поля
Теория функции комплексного переменного
Решение задач типового задания из учебника Кузнецова
Математический анализ задачи
Вычислить интеграл
Решение рядов
Дифференциалы от функции нескольких переменных
Энергетика
Быстрый реактор
Курсовой проект реактор ВВЭР
Курсовой проект «Электрическая часть электростанций и подстанций»
Действие радиации на человека и окружающую среду
Выбрасы АЭС
Химические свойства радиоактивных элементов
Информатика
Лабораторные работы по информатике
Информационные технологии
Технологии защиты информации

Первообразная и неопределённый интеграл В этом подразделе рассматривается задача отыскания функции, для которой заданная функция является производной. Пример. Вычислить интеграл . .

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Пример Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R

Пример Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0

Пример Найти объем тела, ограниченного сферой x² + y² + z² = 6 и параболоидом x² + y² = z.

Метод замены переменной Вычислить интеграл . Решение. Применяем подстановку . Тогда или .

Пример Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .

Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Найти объем области U, заданной неравенствами

Найти площадь треугольника с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1).

Двойные интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор круга радиусом .

Пример Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .

Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

Двойные интегралы в прямоугольной области Вычислить двойной интеграл в области .

Пример Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .

Пример 7 Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

• Длина кривой; Найти длину кривой при условии .
• Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
• Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.

Пример 4 Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом фиде вектором в интервале

Пример 7 Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2

Геометрические приложения поверхностных интегралов С помощью поверхностных интегралов вычисляются

• Площадь поверхности; Пример 1 Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.
• Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.

Пример 4 Вычислить объем эллипсоида .

Пример 5 С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a).

Интегрирование по частям Пример Вычислить интеграл . Решение. Используем формулу интегрирования по частям . Пусть .

Несобственные интегралы Пример Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Вычислить периметр единичной окружности. Решение. Вычислим длину дуги окружности в первом квадранте между x = 0 и x = 1 и затем умножим результат на 4.

Пример 6 Вычислить интеграл без использования замены переменной.

Интегрирование гиперболических функций Вычислить интеграл .

Интегрирование иррациональных функций Вычислить интеграл .

Пример Найти интеграл . Решение. Сделаем подстановку:      

Интегрирование рациональных функций Вычислить интеграл .

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II.

Криволинейные интегралы первого рода Пример Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2)

Криволинейные интегралы второго рода Пример Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

Теорема Остроградского-Гаусса Вычислить поверхностный интеграл , где S − внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением .

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования Пример Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования:

Физические приложения двойных интегралов Пример 1 Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами и .

Закон Фарадея Электродвижущая сила наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока, проходящего через данный контур

Пример Тело массой m брошено под углом к горизонту α с начальной скоростью v₀. Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где (рисунок 2 выше). Плотность оболочки определяется функцией .

Пример 5 Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ₀ радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.

Физические приложения тройных интегралов Масса и статические моменты тела Найти центроид однородного полушара радиусом R.

Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Теорема Стокса Пример Показать, что криволинейный интеграл равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.

Поверхностные интегралы первого Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).

Поверхностные интегралы второго рода Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .

Тригонометрические и гиперболические подстановки Вычислить интеграл .

Тройные интегралы в декартовых координатах Вычислить интеграл       где область U расположена в первом октанте ниже плоскости 3x + 2y + z = 6.

Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычислить интеграл       где область U ограничена поверхностью x² + y² ≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1

Тройные интегралы в сферических координатах Пример Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x² + y² + z² = 25.