Первообразная
и неопределённый интеграл В этом подразделе рассматривается задача отыскания
функции, для которой заданная функция является производной. Пример. Вычислить
интеграл .
.
Вычисление
объемов с помощью тройных интегралов Пример Найти объем конуса высотой H и
радиусом основания R
Пример
Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5,
x = 0, y = 0, z
= 0
Пример
Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2
+ z2 = 6 и параболоидом x2 + y2
= z.
Метод
замены переменной Вычислить интеграл
.
Решение. Применяем подстановку
.
Тогда
или
.
Пример Вычислить
двойной интеграл
,
в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями
.
Замена переменных
в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто
удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования
или подынтегральное выражение. Найти объем области U, заданной неравенствами
Найти площадь треугольника
с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1).
Двойные
интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных
является переход из декартовой в полярную систему координат Вычислить
двойной интеграл
,
преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет
собой сектор
круга
радиусом
.
Пример
Вычислить двойной интеграл
посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R
представляет собой круг
.
Найти интеграл
, где R ограничена
прямой
и параболой
.
Двойные
интегралы в прямоугольной области Вычислить двойной интеграл
в области
.
Пример
Вычислить площадь области R, ограниченной линиями
.
Пример 7 Найти площадь
лепестка розы, заданной уравнением
.
Геометрические приложения
криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения
в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются
- Длина кривой; Найти длину
кривой
при условии
. - Площадь
области, ограниченной замкнутой кривой;
- Объем тела, образованного вращением
замкнутой кривой относительно некоторой оси.
Пример 4 Найти
длину циклоиды, заданной в параметрическом фиде вектором
в интервале
Пример
7 Найти площадь области,
ограниченной гиперболой
,
осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x =
2
Геометрические
приложения поверхностных интегралов С помощью поверхностных интегралов вычисляются
- Площадь поверхности; Пример 1 Вычислить площадь поверхности части
параболоида
, лежащей
выше плоскости xy. - Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.
Пример
4 Вычислить объем эллипсоида
.
Пример 5
С помощью формулы Грина
вычислить интеграл
,
где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A
(a,0), B (a,a), D (0,a).
Интегрирование
по частям Пример Вычислить интеграл
.
Решение. Используем формулу интегрирования по частям
.
Пусть
.
Несобственные
интегралы Пример Определить, при каких значениях k интеграл
сходится.
Определить, сходится
или расходится несобственный интеграл
?
Вычислить периметр
единичной окружности. Решение. Вычислим длину дуги окружности в первом квадранте
между x = 0 и x = 1 и затем умножим результат
на 4.
Пример 6 Вычислить
интеграл
без использования
замены переменной.
Интегрирование
гиперболических функций Вычислить интеграл
.
Интегрирование иррациональных
функций Вычислить интеграл
.
Пример Найти интеграл
. Решение. Сделаем
подстановку:
Интегрирование рациональных
функций Вычислить интеграл
.
Интегрирование
некоторых классов тригонометрических функций В данном разделе мы рассмотрим
8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса
применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое
решение.
Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных
интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для
произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа.
Введем понятия областей интегрирования типа I и II.
Криволинейные
интегралы первого рода Пример Найти интеграл
вдоль отрезка прямой y = x от начала координат
до точки (2,2)
Криволинейные
интегралы второго рода Пример Вычислить интеграл
,
где кривая C задана параметрически в виде
.
Теорема Остроградского-Гаусса
Вычислить поверхностный интеграл
,
где S − внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением
.
Независимость
криволинейных интегралов от пути интегрирования Пример Вычислить криволинейный
интеграл
для двух
путей интегрирования:
Физические
приложения двойных интегралов Пример 1 Определить координаты центра тяжести
однородной пластины, образованной параболами
и
.
Закон
Фарадея Электродвижущая сила наведенная в замкнутом контуре C, равна
скорости изменения магнитного потока, проходящего через данный контур
Пример
Тело массой m брошено под
углом к горизонту α с начальной скоростью v0.
Вычислить работу силы притяжения
за время движения тела до момента соударения с землей.
Найти
массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде
,
где
(рисунок 2 выше).
Плотность оболочки определяется функцией
.
Пример 5 Найти силу
притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0
радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной
в начале координат.
Физические
приложения тройных интегралов Масса и статические моменты тела Найти центроид
однородного полушара радиусом R.
Найти
массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна квадрату расстояния
от центра.
Теорема
Стокса Пример Показать, что криволинейный интеграл
равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.
Поверхностные
интегралы первого Вычислить поверхностный интеграл
,
где S − часть плоскости
,
лежащая в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥
0).
Поверхностные интегралы второго рода Вычислить
поверхностный интеграл от векторного поля
по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением
,
где
.
Тригонометрические
и гиперболические подстановки Вычислить интеграл
.
Тройные интегралы
в декартовых координатах Вычислить интеграл
где область U расположена
в первом октанте ниже плоскости 3x + 2y + z =
6.
Тройные
интегралы в цилиндрических координатах Вычислить интеграл
где область U ограничена
поверхностью x2 + y2 ≤ 1
и плоскостями z = 0, z = 1
Тройные
интегралы в сферических координатах Пример Найти интеграл
,
где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2
+ y2 + z2 = 25.