Математика решение задач на вычисление интеграла

Первообразная и неопределённый интеграл В этом подразделе рассматривается задача отыскания функции, для которой заданная функция является производной. Пример. Вычислить интеграл . .

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Пример Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R

Пример Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0

Пример Найти объем тела, ограниченного сферой x² + y² + z² = 6 и параболоидом x² + y² = z.

Метод замены переменной Вычислить интеграл . Решение. Применяем подстановку . Тогда или .

Пример Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .

Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Найти объем области U, заданной неравенствами

Найти площадь треугольника с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1).

Двойные интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор круга радиусом .

Пример Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .

Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

Двойные интегралы в прямоугольной области Вычислить двойной интеграл в области .

Пример Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .

Пример 7 Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

• Длина кривой; Найти длину кривой при условии .
• Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
• Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.

Пример 4 Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом фиде вектором в интервале

Пример 7 Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2

Геометрические приложения поверхностных интегралов С помощью поверхностных интегралов вычисляются

• Площадь поверхности; Пример 1 Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.
• Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.

Пример 4 Вычислить объем эллипсоида .

Пример 5 С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a).

Интегрирование по частям Пример Вычислить интеграл . Решение. Используем формулу интегрирования по частям . Пусть .

Несобственные интегралы Пример Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Вычислить периметр единичной окружности. Решение. Вычислим длину дуги окружности в первом квадранте между x = 0 и x = 1 и затем умножим результат на 4.

Пример 6 Вычислить интеграл без использования замены переменной.

Интегрирование гиперболических функций Вычислить интеграл .

Интегрирование иррациональных функций Вычислить интеграл .

Пример Найти интеграл . Решение. Сделаем подстановку:      

Интегрирование рациональных функций Вычислить интеграл .

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II.

Криволинейные интегралы первого рода Пример Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2)

Криволинейные интегралы второго рода Пример Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

Теорема Остроградского-Гаусса Вычислить поверхностный интеграл , где S − внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением .

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования Пример Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования:

Физические приложения двойных интегралов Пример 1 Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами и .

Закон Фарадея Электродвижущая сила наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока, проходящего через данный контур

Пример Тело массой m брошено под углом к горизонту α с начальной скоростью v₀. Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где (рисунок 2 выше). Плотность оболочки определяется функцией .

Пример 5 Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ₀ радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.

Физические приложения тройных интегралов Масса и статические моменты тела Найти центроид однородного полушара радиусом R.

Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Теорема Стокса Пример Показать, что криволинейный интеграл равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.

Поверхностные интегралы первого Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).

Поверхностные интегралы второго рода Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .

Тригонометрические и гиперболические подстановки Вычислить интеграл .

Тройные интегралы в декартовых координатах Вычислить интеграл       где область U расположена в первом октанте ниже плоскости 3x + 2y + z = 6.

Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычислить интеграл       где область U ограничена поверхностью x² + y² ≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1

Тройные интегралы в сферических координатах Пример Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x² + y² + z² = 25.