Математический анализ. Примеры решения задач

Методы вычисления предела функции

Число перестановок

Число размещений

Пример С помощью формулы (1.2) решается следующая задача. Каково число всех четырехзначных чисел с неповторяющимися цифрами?

Число сочетаний из n элементов

  Пример Сколькими способами собрание из 20 студентов может выбрать трех студентов на научную конференцию?

Размещения с повторениями

Пример . Сколькими способами можно расставить на книжной полке 3 экземпляра учебника по алгебре , 2 экземпляра учебника по геометрии, один учебник по физике?

Бином Ньютона

Пример   Возвести в указанную степень: а) ; б) 

Формула разложения разности

Метод математической индукции

Формула Тейлора

Формулы Тейлора для некоторых функций

  Пример Разложить по формуле Тейлора по степеням х функции:

а)  ,

б)  ,

в) .

  Пример Представить в виде многочлена Тейлора функции:

а)  по степеням х-1,

б)  по степеням х+1.

 Пример Вычислить с точностью 0,001: а) cos ; б) .

Пример Построить график функции.

Пример Гиперболический синус .

Пример Гиперболический косинус .

Пример Гиперболический тангенс .

Пример Гиперболический котангенс y = cthx.

Некоторые функции, примыкающие к элементарным

Пример Целая часть числа (антье): . Это наибольшее целое число, не большее данного (рис.23). Отметим, что , так как 2,34 = 2 + 0,34,

Пример Построить график функции .

Пример Построить график функции .

Пример Построить график функции .

Пример Построить график функции .

Пример Построить график функции  

Пример Построить график функции  

Пример . Построить график функции .

Пример Построить график функции

 Пример Доказать, что .

Свойства передела

Пример . Найти пределы: а)   б) , в)

Пример . Найти пределы. а)

Пример . (Неопределенности ) а) , б)  в) .

Пример Найти предел последовательности, заданной рекуррентным соотношением:.

 Пример . Доказать, пользуясь определением предела последовательности, что . Замена переменной; интегрирование по частям Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Свойства предела функции

 Пример Найти пределы

Пример Найти пределы: а)

Найти пределы

  Пример . Найти пределыа)

  Пример Найти пределы.

Основные формулы эквивалентности бесконечно малых

Пример Найти пределы функций.

Найти пределы

Сравнение бесконечно малых

  Пример Доказать, что приращение функций  и  при x>0 и при  будут одного порядка малости (, ). При каком значении xприращения  и  эквивалентны?

Пример Доказать, что при   функции  и  будут бесконечно малыми одного порядка. Будут ли они при этом эквивалентны?

Пример Пусть . Определить порядок малости относительно функции  следующих бесконечно малых функций:

а) ,  б) , в) ,

г) , д) , е)

Пример Вычислить приближенно: а)  б) ln 0,95 в) cos 0,1

Об асимптотах графика функции

Пример Доказать, что функция  непрерывна в точке х0=3.

Пример Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций: ,

Пример Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций: ,

Пример . Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций: ,

Пример Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций: ,

Пример Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций,

Пример Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций.

Пример Исследовать функции на непрерывность, в точках устранимого разрыва доопределить функцию для устранения разрыва:,

,

, , .

  Пример Указать значения параметров a и b, при которых функция непрерывна.

 Пример Найти точки разрыва, уравнения асимптот функции  и построить ее график.

Правило Лопиталя

Пример С помощью правила Лопиталя найти пределы.

  Пример Найти пределы

1)

2)

3)

4)

 Пример Найти предел .

Пример Найти пределы

а)

б)

Алгебраическая форма комплексного числа

  Пример Выполнить действия:      b)

  Пример. Решить квадратные уравнения:       

Пример Данную дробь  представить в виде суммы более простых дробей.

Геометрическое представление, тригонометрическая и показательная формы.

 Пример  Построить на комплексной плоскости и представить в тригонометрической и показательной формах следующие комплексные числа:

Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах

Пример Выполнить действия:

Пример Решить уравнение .

Пример Доказать 

Пример . Доказать

Пример. График функции  получаем из графика сжатием в 2 раза ( рис.6а ), а график функции  - из графика растяжением в 2 раза

Пример. График функции y=2sinx получаем из графика функции y=sinx растяжением от оси ОХ в 2 раза а график функции y=0,5sinx – сжатием к оси ОХ в 2 раза Построим график функции, используя результаты исследования

Пример. График функции  получаем симметричным отображением относительно оси ОУ графика функции  , а график функции   - получаем симметричным отображением относительно оси ОХ графика

Пример. График функции  ( рис.10б ) строим с помощью графика функции y=arctgx. Правая часть графика сохраняется и отображается симметрично относительно оси ОУ.

 Пример Построить график функции . Решение. Эта функция вида , то есть четная функция и, следовательно, график ее симметричен относительно оси OY.

Пример Построить график функции .

Построение графика функции с помощью свойств элементарных функций

Пример Построить график функции . Решение. Так как ,то функция четная и график ее симметричен относительно оси OY.

Пример Построить график функции .

Пример Построить график дробно-линейной функции .

Пример Построить график функции .

Определение предела функции

  Число а называется пределом функции   при , если для  такое, что для , для которых , выполняется неравенство . Пишут так: .

Число а называется левосторонним пределом функции f(x) при  (слева), если для   такое, что для , для которых , выполняется неравенство .

Число а называется правосторонним пределом функции f(x) при  (справа), если для   такое, что для , для которых , выполняется неравенство .

  Пример . Доказать (найти , что: а) , б)

  Решение. а) Надо доказать, что для , для которых , выполняется неравенство  для . Имеем:

 

Примем . Тогда .

Итак, для   такое, что  для , для которых .

  б) Пусть ,

Тогда

Здесь в числителе пользуемся неравенством  а в знаменателе пользуемся неравенством .

Пусть . Тогда .

Итак, для   такое, что неравенство  выполняется для всех x, для которых .

 

23 Апреля 2010 сайт вопросов и ответов и интересным интерфейсом.
Математика, физика примеры решений задач, контрольных, курсовых.