Сопромат, механика. Теория, практика. Математика, физика примеры решений задач, контрольных, курсовых.

Курс лекций по строительной механике
Детали машин принципы проектирования
Основы конструирования
Курс лекций техники живописи
Техника живописи
Киноварь
Искусственный  ультрамарин
Слоновая кость
Архитектура Киевской Руси
Акварель
Живопись гуашью
Живопись старинной темперой
Живопись современной темперой
Пастель
Масляная живопись
Трещины в слоях масляной живописи
Эмульсионные краски Мароже и Мурие
Рецепт клеевого грунта для холста
Подготовка стен для живописи
Фламандский метод живописи масляными
красками
Техника живописи Леонардо да Винчи
Стенная декоративная живопись
Темпера на цельном яйце
Итальянская фреска
Живопись по твердой штукатурке
Кузмин теоретик эмоционализма
Зарождение Абстрактного искусства
Психологическая теория цветовой гармонии
История искусства
Балетный театр
История искусства средних веков
Техника живописи различных мастеров
Джорджоне и Тициан
Лекции и задачи по физике
Расчет электротехнических цепей
Электротехника и электроника
Физика атома
Электромагнетизм
Физические основы механики
Молекулярная физика
Оптика
Оптическая физика
Электричество
Постоянный ток
Лабораторные работы по электронике
Операционный инвертирующий усилитель
Работа электрических машин и аппаратов
Машины постоянного тока.
Асинхронный двигатель
Трансформатор
Закон полного тока
Элементы зонной теории твердого тела
Физическая природа проводимости
Проводниковые материалы
Сплавы высокого сопротивления
Припои
Полупроводниковые материалы
Примесная электропроводность
полупроводников
.
Электропроводность собственных 
полупроводников
Микроволновый диапазон
Классификация приборов
микроволнового диапазона
Технологические особенности изготовления
диодов СВЧ диапазона
Туннельный диод
Диод Шоттки
Высокочастотные полевые транзисторы
Физические основы работы квантовых
приборов оптического диапазона
Квантовые переходы
Возможность усиления электромагнитного поля
Распространение электромагнитных волн
Энергия электромагнитного поля
Плоские электромагнитные волны
Распространение волн в реальных диэлектриках
Элементарный электрический излучатель
Волны в коаксиальной линии
Колебательные системы СВЧ.
Начертательная геометрия
Аксонометрия и проекции
Машиностроительное черчение
Сварные соединения
При соединении пайкой
Изображение цилиндрической зубчатой
передачи
Параметры зубчатых колес
Червячная передача
Рабочий чертеж червячного колеса
Чертеж общего вида и сборочный чертеж
Особенности нанесения размеров
Изображения и штриховка сечений
Детали сборочных единиц
Сборочные чертежи неразьеных соединений
Шероховатость механической обработки
Сборочный чертеж сварного соединения
Сборочный чертеж армированного изделия
Электрические схемы
Система автоматизированного
проектирования (САПР)
Классификация информационно-вычислительных
систем
Иерархия протоколов вычислительной сети
Пользовательские процессы и
уровни управления в ИВС
Обзор сетевых операционных систем
Математика задачи
Задачи контрольной работы
Математика функции
Математический анализ
Линейная алгебра
Дифференциальные уравнения
Теория функции комплексного переменного
Решение задач типового задания из учебника Кузнецова
Примеры решения задач
Вычислить интеграл
Решение рядов
Дифференциалы от функции нескольких переменных
Энергетика
Быстрый реактор
Курсовой проект реактор ВВЭР
Курсовой проект «Электрическая часть
электростанций и подстанций»
Действие радиации на человека
и окружающую среду
Выбрасы АЭС
Химические свойства
радиоактивных элементов
Информатика
Лабораторные работы по информатике
Информационные технологии
Технологии защиты информации
 

Расчеты деталей машин и механизмов Конструирование и проектирование механизмов

Расчеты деталей машин на прочность, жесткость и устойчивость надо производить везде, где это возможно, по максимально допускаемым напряжениям и деформациям.
  • Расчёт червячных передач Червячные передачи применяют в случаях, когда геометрические оси ведущего и ведомого валов перекрещиваются (обычно под прямым углом). По форме червяка различают передачи с цилиндрическими и с глобоидными (вогнутыми) червяками
  • Расчет на контактную выносливость ведут как проектный, определяя требуемое межосевое расстояние
  • Расчёт жёсткости червячного зацепления. Под действием сил в червячном зацеплении червяк и вал червячного колеса прогибаются и правильность зацепления нарушается, что приводит к ускоренному износу
  • Выполнение компоновочных чертежей редуктора Компоновку обычно выполняют в два этапа. Первый этап служит для приближённого определения положения зубчатых колёс редуктора, звёздочек (шкивов, муфт) на выходных концах валов относительно опор для последующего определения опорных реакций и подбора подшипников
  • Расчёт требуемой мощности электродвигателя и выбор серийного электродвигателя
  • Пример выполнения курсового проекта Спроектировать одноступенчатый горизонтальный цилиндрический косозубый редуктор и цепную передачу для привода к ленточному конвейеру
  • Расчет соединений при симметричном нагружении Основная задача расчета – определение размеров деталей, исключающих повреждения или разрушения элементов соединения.
  • Расчет передач на сопротивление усталости при изгибе Расчет выполняется при предположениях, что зуб нагружен силой FH, в зацеплении находится одна пара зубьев, а также силы трения отсутствуют.
  • Замена в узлах машин трения скольжения трение качения Такая замена во многих случаях целесообразна с точки зрения повышения надежности работы деталей и экономичности машин.
  • Проектный расчет на контактную выносливость проводится с целью предварительного определения геометрических параметров зубчатой передачи по заданному крутящему моменту на валу колеса , Н·м, и передаточному числу . При расчете передач с цилиндрическим зубчатыми колесами обычно определяется межосевое расстояние , поскольку оно в основном определяет габариты передачи
  • Проверочный расчет на выносливость при изгибе Расчетные напряжения изгиба на переходной поверхности зубьев шестерни и колеса
  • Расчетные схемы валов и осей Валы и вращающиеся оси обычно рассчитывают как балки на шарнирных опорах. Для валов, вращающихся в подшипниках качения, установленных по одному в опоре, данная схема обеспечивает получение достаточно точных результатов.
  • Подшипники качения Подшипники предназначены для поддержания вращающихся валов и осей в пространстве и восприятия, действующих на них нагрузок. Подшипники могут также поддерживать детали, вращающиеся вокруг осей, например, сателлиты планетарных механизмов.
  • Подшипник скольжения предназначены для поддержания валов, осей и других вращающихся или качающихся деталей и восприятия осевых и радиальных нагрузок передаваемых цапфами.
  • Приводные муфты служат для продольного соединения двух деталей машины, связанных общим вращательным движением (вала с валом, вала с зубчатым колесом, двух зубчатых колес и т.д.).
  • Цепные муфты отличает возможность использования серийно изготавливаемых цепей, небольшие габаритные размеры, простота монтажа без осевых смещений соединяемых валов, способность компенсировать радиальные и угловые смещения валов за счет взаимных перемещений деталей муфты и наличия зазоров.
  • Начертательная геометрия Задачи и примеры

    Прямые частного положения. Относительно плоскостей проекций прямые могут располагаться по разному. Если они параллельны или перпендикулярны плоскостям проекций, то говорят , что это прямые частного положения.
  • Поверхности второго порядка, коническая поверхность (конус вращения и эллиптический конус, получаемый деформацией параллелей конуса вращения в эллипсы); цилиндрическая поверхность (цилиндр вращения, эллиптический, параболический и гиперболический цилиндры.
  • Аксонометрические изображения довольно широко применяются в конструкторской работе. Это объясняется тем, что они обладают большой наглядностью и сравнительно простым построением.
  • Позиционные задачи – это задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга. Различают прямые и обратные позиционные задачи:
  • Линия пересечения двух поверхностей, называемая линией перехода, это такая линия, все точки которой одновременно принадлежат обеим поверхностям. В общем случае она представляет собой пространственную кривую или ломаную линию (при пересечении многогранных поверхностей), которая может распадаться на две или более частей.
  • Пример. Построить линию пересечения полуцилиндра конусом вращения. На виде спереди линия пересечения уже имеется - она совпадает с вырожденным видом полуцилиндра и находится в пределах площади наложения обеих поверхностей.
  • Метрические задачи Задачи, в которых решаются вопросы измерения отрезков и углов, определения натуральной формы плоских фигур и т.п., называются метрическими.
  • Пример. Определить расстояние от точки А до прямой общего положения
  • Решение пространственных задач на комплексном чертеже значительно упрощается, если интересующие нас объекты занимают в пространстве частное положение, т.е. располагаются параллельно или перпендикулярно плоскостям проекций.
  • Способ вращения Сущность этого способа заключается в том, что при неизменном положении плоскостей проекций изменяется положение заданных геометрических элементов относительно плоскостей проекций путем их вращения относительно вокруг некоторой оси до тех пор, пока эти элементы не займут частное положение в исходной системе плоскостей.
  • Определить натуральную длину отрезка АВ(А1В1; А2В2) и углы его наклона к плоскостям проекций
  • Построить в прямоугольной изометрии сечение пирамиды фронтально проецирующей плоскостью
  • Построить точки пересечения прямой с поверхностью а) поверхность коническая; б) поверхность сферическая. Через прямую проводим секущую плоскость так, чтобы она пересекла конус или сферу по окружности. Точки пересечения прямой и линии сечения К и Т являются точками пересечения прямой с поверхностью.
  • Построить линию пересечения двух плоскостей откоса дна котлована с бровками АВ и ВС
  • Определить линию пересечения конической и топографической поверхности
  • Определить линию пересечения откоса насыпи с топографической поверхностью в случае, когда их горизонтали не пересекаются
  • Построить собственные и падающие тени заданных призм Определяем грани, находящиеся в собственной тени, и контуры этих теней.
  • Построить перспективу отрезка АВ Перспектива точки строится в пересечении перспектив двух прямых, проходящих через точку в пространстве.
  • Построить собственные и падающую тень призмы при заданном направлении светового луча
  • Приведены примеры выполнения заданий контрольной работы
  • Проекции и их свойства Учебная дисциплина «Начертательная геометрии и инженерная графика» даёт студентам знания, которые необходимы им для общения с техническими специалистами на специальном графическом языке.
  • Комплексный чертёж Монжа Наибольшее применение на практике получил чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемой фигуры. Такой чертеж называется комплексным чертежом в ортогональных проекциях или комплексным чертежом. Его предложил использовать в конце XVIII века французский инженер Гаспар Монж.
  • Построение линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения Для решения этой задачи необходимо определить две точки прямой пересечения плоскостей. На плоскости общего положения выбираются две произвольные прямые (как правило, это прямые, входящие в определитель плоскости) и находятся точки их пересечения с проецирующей плоскостью.
  • Преобразование комплексного чертежа Решение многих геометрических задач на комплексных чертежах этих объектов часто усложняется из-за того, что заданные геометрические объекты расположены произвольно относительно плоскостей проекций и, следовательно, проецируются на эти плоскости в искаженном виде.
  • Основные задачи, решаемые одной заменой плоскости проекций
  • Кривые линии на комплексном чертеже В начертательной геометрии кривые линии изучаются по их проекциям на комплексном чертеже. Положение точки, описывающей при своём движении некоторую кривую, определяется в любой момент движения двумя её проекциями
  • Способ вспомогательных секущих сфер Использование сферы в качестве вспомогательной секущей поверхности основано на свойстве сферы пересекаться с соосной с ней поверхностью вращения по окружностям. Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось. Д
  • Способ эксцентрических секущих сфер При этом способе вспомогательные сферы проводят из разных центров.
  • Сечение поверхности плоскостью Линия, которая получается от пересечения поверхности с плоскостью, является плоской кривой, лежащей в секущей плоскости. Чтобы построить проекции этой линии на чертеже, находят проекции ее отдельных точек и, соединяя одноименные проекции точек плавными кривыми (по лекалу), получают проекции искомой линии.
  • Построение линии пересечения двух плоскостей Как известно, две плоскости пересекаются по прямой линии. Прямая определяется двумя точками. Поэтому для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно построить две её точки.
  • Рассмотрим два примера на построение точек пересечения линии с поверхностью. Пример. Построить точку пересечения кривой линии n с конической поверхностью Φ(a, S). Сначала нужно построить каркас образующих заданной линейчатой поверхности
  • Развёртки поверхностей Представим поверхность в виде тонкой и гибкой, но нерастяжимой пленки. В этом случае некоторые поверхности можно постепенным изгибанием совместить с плоскостью так, что при этом не возникает ни разрывов, ни складок.
  • Построение приближенных разверток развертывающихся линейчатых поверхностей Для развертывающихся линейчатых поверхностей строят приближенные развертки потому, что в процессе построения развертки заданную поверхность заменяют (аппроксимируют) вписанной в неё или описанной вокруг неё многогранной поверхностью (цилиндрические поверхности заменяют призмами, конические поверхности – пирамидами).
  •  

    Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания

  • Элементы линейной алгебры Матрицы и определители. Основные понятия
  • Система линейных уравнений (СЛУ)
  • Вычислить в цилиндрической системе координат тройной интеграл
  • Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение  (неявный вид), которому удовлетворяют координаты  любой точки данной линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.
  • Построение гиперболы При построении гиперболы необходимо построить прямоугольник со сторонами   и  и провести диагонали, которые и являются асимптотами (см. рис.). ,  - вершины гиперболы,  - действительная полуось,  - мнимая полуось,  - центр гиперболы.
  • Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве Найти угол между прямой и плоскостью.
  • Математический анализ Элементы теории множеств Логические символы
  • Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная функции
  • Производная функции, заданной неявно Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной x.
  • Функции двух переменных В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других:
  • Частные производные и дифференциалы высших порядков Частные производные по переменным  и в точке  от функций  и в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции .
  • Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
  • Интеграл Фурье Пусть функция (сигнал)  описывает некоторый периодический процесс. С целью исследования этого процесса часто представляют функцию  в виде суммы постоянного члена и гармонических составляющих с частотами
  • Интегрирование функций нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Метод интегральной суммы. Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.
  • Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.
  • Практикум по теме «Тройной интеграл» Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.
  • Математика решение задач на вычисление матрицы
  • Сложение матриц Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера
  • Матричные уравнения Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу.
  • Решение задач на вычисление пределов
  • Предел последовательности Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…)
  • Различные определения непрерывности функции в точке Эквивалентность определений либо следует из эквивалентности определений конечного предела функции, либо может быть установлена.
  • Вычисление производной и интеграла
  • Производная функции Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u), u=u(x).
  • Интегрирование тригонометрических выражений С тригонометрическими интегралами мы уже встречались ранее. Их особенностью, пожалуй, можно считать обилие тригонометрических формул, позволяющих преобразовывать подынтегральное выражение, что часто позволяет его упростить.
  • Вычислить интегралы от функции комплексного переменного
  • Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.
  • Вычислить криволинейный интеграл
  • Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора
  • Вычисление длины дуги кривой. Пример. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат. Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y .
  • Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
  • Применение тройных интегралов. Масса неоднородного тела
  • Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. Пусть в некоторой замкнутой области D плоскости хОу определена ограниченная функция z = f(x,у), причём f(x,y)>0. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой - область D; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой z=f(x,y) боковая поверхность - цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной оси Oz вдоль границы L области D.
  • Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга.
  • Поверхностный интеграл первого рода Пусть f(x,y,z) - функция, непрерывная на гладкой поверхности S. (Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности).
  • Вычисление функций
  • Функция нескольких переменных и ее частные производные Определение функции нескольких переменных Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных x и y из некоторого множества D соответствует определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определённая на множестве D. Множество D называется областью определения функции z = z (x, y).
  • Функции комплексной переменной Определение и свойства функции комплексной переменной Пусть даны две плоскости комплексных чисел и на первой – множество D комплексных чисел z = x + iy, где i – мнимая единица (i2 = –1), на второй – множество G комплексных чисел w = u +iv.

    Решение задач на вычисление интеграла

  • Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Пример Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R
  • Пример Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями
  • Пример Найти объем тела, ограниченного сферой
  • Метод замены переменной Вычислить интеграл Решение. Применяем подстановку . Тогда или .
  • Пример Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .
  • Двойные интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования Rпредставляет собой сектор круга радиусом
  • Пример Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрированияR представляет собой круг .
  • Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой
  • Пример Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .
  • Пример Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .
  • Пример Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом фиде вектором в интервале
  • Пример Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми
  • Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.
  • Пример Вычислить объем эллипсоида .
  • Пример С помощью формулы Грина вычислить интеграл
  • Интегрирование по частям Пример Вычислить интеграл . Решение. Используем формулу интегрирования по частям . Пусть .
  • Несобственные интегралы Пример Определить, при каких значениях k интеграл сходится.
  • Пример Вычислить интеграл без использования замены переменной.
  • Интегрирование гиперболических функций Вычислить интеграл .
  • Интегрирование иррациональных функций Вычислить интеграл .
  • Пример Найти интеграл Решение. Сделаем подстановку:      
  • Криволинейные интегралы первого рода Пример Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2)
  • Криволинейные интегралы второго рода Пример Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .
  • Теорема Остроградского-Гаусса Вычислить поверхностный интеграл , где S внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением .
  • Физические приложения двойных интегралов Пример 1 Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами и .
  • Закон Фарадея Электродвижущая сила наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока, проходящего через данный контур
  • Пример Тело массой m брошено под углом к горизонту α с начальной скоростью v0. Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.
  • Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где Плотность оболочки определяется функцией .
  • Пример Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0 радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.
  • Физические приложения тройных интегралов Масса и статические моменты тела Найти центроид однородного полушара радиусом R.
  • Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.
  • Поверхностные интегралы первого рода Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).
  • Поверхностные интегралы второго рода Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .
  • Тригонометрические и гиперболические подстановки Вычислить интеграл .
  • Тройные интегралы в декартовых координатах Вычислить интеграл       где область U расположена в первом октанте ниже плоскости 3x + 2y + z = 6.
  • Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычислить интеграл       где область U ограничена поверхностью x2 + y2 ≤ 1 и плоскостями >z = 0, z = 1
  • Тройные интегралы в сферических координатах Пример Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2 + y2 + z2 = 25.
  • Неопределенный и определенный интегралы
  • Метод подведения под знак дифференциала Если подынтегральное выражение содержит некоторую функцию и ее производную, то в этом случае используют метод подведения под знак дифференциала
  • Пример. Найти интеграл
  • Найти интеграл . Решение. Применим указанный прием: выделим в числителе производную квадратного трехчлена  и преобразуем числитель:
  • Найти интеграл . Решение. Рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе.
  • Пример. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.
  • Приложения определенного интеграла Вычисление площади плоской фигуры
  • Пример. Найти длину дуги кривой , заключенной между лучами  и .
  • Задача 5. Вычислить . Решение. Выполним замену переменной
  • Вычислить Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей.
  • Решение задач на исследование функции

  • Во многих вопросах геометрии, естествознания и т.д. приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных. Пример. Решая уравнение сферы  относительно  при , получим , то есть - функция двух переменных.
  • Примеры. Исследовать непрерывность функции . Решение. Найдем полное приращение функции 
  • Частные производные функции нескольких переменных Найти частные производные функций: ..
  • Пример. Вычислить частные производные функции 
  • Пример. Найти частные производные второго порядка функции
  • Пример. Разложить функцию по формуле Тейлора с центром разложения в точке до членов второго порядка включительно.
  • Пример. Найти локальные экстремумы функции  в области
  • Пример. Найти точки локального экстремума функции .
  • Методом Лагранжа найти экстремум функции  при условиях связи
  • Решение типового задания по теме ряды

  • Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость Исследовать на сходимость ряд .
  • Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье Найти решение в виде ряда Фурье дифференциального уравнения с граничными условиями .
  • Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля Вычислить сумму ряда .
  • Сходимость рядов. Признаки сравнения Пример Определить, сходится или расходится ряд .
  • Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции
  • Предположим, что f (x) является периодической функцией с периодом 2π. Пусть для . Найти разложение Фурье для заданной параболической функции.
  • Пример Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) − периодическая функция.
  • Вычислить сумму ряда . Указание: применить формулу Парсеваля к функции f (x) = x.
  • Определить, сходится или расходится ряд .
  • Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции , заданной в интервале
  • Пример Найти разложение в ряд Фурье функции
  • Показать, что гармонический ряд расходится.
  • Найти разложение функции в ряд Фурье-Эрмита.
  • Определить радиус и интервал сходимости степенного ряда .
  • Найти ряд Маклорена для функции .
  • Исследовать на сходимость ряд  
  • Найти коэффициенты  разложения в ряд Фурье по синусам функции .
  • Математический анализ

  • Математический анализ – совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений.
  • Пределы и непрерывность функции
  • Дифференциальное исчисление функции одной перменной Примеры. Найти производную функции
  • Производная степенной функции с любым действительным показателем Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Примеры Найти у''' для функции y = cos2 x.<
  • Лекция Числовые множества. Мощность множеств Расширенная числовая прямая Известно что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимнооднозначное соответствие
  • Предел последовательности Примеры. Выписать четыре первых члена следующих последовательностей  и сделать предположение об их возможных пределах.
  • Предел монотонной ограниченной последовательности Переходим к изучению вопроса о том, какими свойствами должна обладать последовательность, чтобы у неё существовал предел. Прежде чем сформулировать окончательный ответ, рассмотрим один простой и важный класс последовательностей, для которых этот вопрос решается легко.
  • Первое определение предела функции Пример. Вычислить предел функции Дирихле в точке x0=0 по множествам .
  • Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши.
  • Точки разрыва функции Пример Исследовать функцию на непрерывность.
  • Геометрическая прогрессия Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...
  • Раскрытие неопределенностей Вычислить предел .
  • Правило Лопиталя Вычислить предел . Решение. Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:
  • Свойства пределов Найти предел .
  • Геометрический и физический смысл производной и дифференциала Пример. Найти мгновенную скорость материальной точки, закон движения которой описывается уравнением , в момент времени t0 = 2.
  • Условие существования производственной сложной функции Пример. Вычислить производную функции .
  • Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически Пример. Вычислить первую и вторую производные от функции .
  • О правилах Лопиталя Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил Лопиталя, мы изложим в этом пункте.
  • Пример. Найти предел
  • Найти производную функции .
  • Пример. Исследовать функцию и построить ее график. Находим область существования функции.
  • Пример. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии, заданной уравнением 
  • Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
  • Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1, 1, 1).
  • Системы линейных дифференциальных уравнений Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.
  • Курс лекций по ТФКП теория функции комплексного переменного

  • Функции комплексного переменного Рассмотрим две области: Пусть известен закон, позволяющий по известным координатам некоторой точки из области D получить координаты точки в области Е. Если такой закон известен, то говорят, что задано отображение области D на область Е.
  • Интегрирование функций комплексного переменного Пусть в некоторой области  на плоскости xOy задана кусочно-гладкая непересекающаяся кривая АВ (контур Г). Предположим, что на этом контуре известна функция комплексного переменного F(t), где t – комплексная переменная, меняющаяся вдоль Г.
  • Теорема Коши для многосвязных областей Пусть область D – двусвязная, иными словами, ее нельзя стянуть в точку за счет деформации граничного контура . Пример такой области приведен на рисунке: внутри области   содержится область , ограниченная контуром Г.
  • Ряд Тейлора Рассмотрим односвязную область D и функцию f(z), голоморфную в области D и непрерывную в области D вплоть до границы L. Внутри области D выберем (произвольно) точки a и z, а на границе - точку t. Ряд Лорана
  • Сингулярный интеграл Рассмотрим несобственный интеграл от действительной переменной :
  • Операционное исчисление Пусть дано обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (все величины – действительные)
  • Нахождение оригинала по изображению
  • Решение задач типового задания из учебника Кузнецова

  • Аналитическая геометрия Задача. Написать разложение вектора по векторам
  • Векторный анализ Задача. Найти производную скалярного поля в точке  по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .
  • Построить графики функций с помощью производной первого порядка
  • Исследовать поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков.
  • Провести полное исследование функций и построить их графики.
  • Найти общий интеграл дифференциального уравнения
  • Дифференцирование Задача. Исходя из определения производной, найти .
  • Задача. Найти неопределенные интегралы
  • Задача Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями.
  • Вычислить пределы числовых последовательностей.
  • Задача. Изменить порядок интегрирования.
  • Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
  • Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
  • Задача. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).
  • Задача . Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов  и  и произведение любого элемента   на любое число ?
  • Пример. Исследовать на сходимость числовые ряды:
  • Пример. Вычислить с точностью  интеграл . Решение. Запишем разложение функции  в ряд Маклорена
  • Пример. Вычислить определитель  двумя способами.
  • Курс лекций по строительной механике

    • Расчёт стержневых конструкций на действие подвижной нагрузки К подвижной нагрузке, оказывающей внешнее силовое воздействие на сооружения, относят автомобильный и железнодорожный транспорт, мостовые краны и т.д.
    • Определение перемещений в упругих системах Всякое сооружение под действием  приложенных к нему внешних нагрузок и воздействий (сосредоточенные и распределённые нагрузки, осадка опор, температура и др.) изменяет свою первоначальную форму, т.е. все точки этого сооружения получают перемещения.
    • Основная система метода сил Любой способ раскрытия статической неопределимости предполагает выбор для заданной системы основной системы. В методе сил основную систему выбирают из заданной, устраняя «лишние» связи. За «лишние» могут быть приняты как внешние, так и внутренние связи
    • Определение моментных фокусных отношений Рассмотрим некоторый участок неразрезной балки с загруженным только одним пролётом и с построенной для этого случая эпюрой моментов. Если каким-то образом изменить величину силы F загруженного пролёта, то соответственно изменятся и ординаты этой эпюры.
    • Расчет статически неопределимых систем методом перемещений Основы метода Метод перемещений в строительной механике является во многом основополагающим для большинства современных методов (метод конечных элементов и др.) раскрытия статической неопределимости сложных стержневых конструкций.
    • Устойчивость стержневых систем Под устойчивостью понимают способность элементов конструкций сохранять первоначальное положение равновесия при действии на них сжимающих нагрузок. Устойчивость является необходимым условием для каждой инженерной конструкции
    • Определение перемещений и некоторые основные теоремы строительной механики Расчет сооружений на жесткость связан с определением их деформаций, т. е. вычислением перемещений отдельных точек. Кроме того, умение определять перемещения является основой для расчета статически неопределимых систем, поэтому усвоение этой темы имеет большое значение для всей второй части курса.
    • Основные вариационные принципы и методы строительной механики Знакомство с вариационными принципами строительной механики можно ограничить принципами Лагранжа и Кастильяно. Следует рассмотреть приложение принципа Кастильяно к расчету пластинок
    • Расчет простой плоской статически определимой фермы

    Электротехника Методы расчета электрических цепей

  • Метод контурных токов Теоретическая база метода контурных токов – 2-ой закон Кирхгофа в сочетании с принципом наложения. Предполагают, что в каждом элементарном контуре-ячейке схемы протекает «свой» контурный ток Ik, а действительные токи ветвей получаются по принципу наложения контурных токов как их алгебраические суммы.
  • Передача энергии от активного двухполюсника (источника) к пассивному двухполюснику (приемнику) Двухполюсником называется устройство или часть схемы (цепи) с двумя выводами (полюсами). Если внутри двухполюсника содержатся источники энергии, то он называется активным (A), в противном случае – пассивным (П).
  • Резонанс в сложных схемах Схемы замещения реальных электрических цепей могут существенно отличаться от рассмотренных выше простейших последовательной или параллельной схем. Хотя условие резонансного режима в общем виде [ Im(Zвх)=0 и Im(Yвх)=0 ] для любой схемы сохраняется, однако конкретное содержание этих уравнений будет определяться структурой схемы замещения.
  • Топологические методы расчета электрических цепей Топологические определения схемы С появлением ЭВМ и их широким применением для решения сложных математических задач были разработаны специальные топологические расчёта сложных электрических цепей, графов и матриц.
  • Расчет сложных трехфазных цепей Сложная трехфазная цепь, например, объединенная энергосистема, может содержать большое число трехфазных генераторов, линий электропередачи, приемников трехфазной энергии. Схема такой цепи представляет собой типичный пример сложной цепи переменного тока
  • Расчет токов коротких замыканий в энергосистеме методом симметричных составляющих. В результате различного вида коротких замыканий в сложной энергосистеме возникает несимметричный режим. Расчет токов коротких замыканий в различных точках энергосистемы является важной инженерной задачей. Также расчеты выполняются методом симметричных составляющих.
  • Расчет электрических цепей несинусоидального тока Расчет электрических цепей, содержащих источники энергии [источники ЭДС e(t) и источники тока j(t)] с несинусоидальной формой кривой, выполняется по методу положения. Процедуру расчета можно условно разделить на три этапа.
  • Классический метод расчета переходных процессов Переходные процессы в любой электрической цепи можно описать системой дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа
  • Операторный метод расчета переходных процессов Если система дифференциальных уравнений, которыми описывается переходной процесс в схеме, решается операционным методом, то и сам метод расчета переходного процесса также называется операционным или операторным.
  • Анализ переходных процессов в цепи R, L, C Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов
  • Расчет переходных процессов методом переменных состояния Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему дифференциальных уравнений, которая описывает состояние (режим) данной цепи. Например, система уравнений Кирхгофа является уравнениями состояния цепи, для которой она составлена.
  • Способы соединения четырехполюсников Сложная цепь или схема может содержать несколько четырехполюсников, соединенных между собой тем или иным образом. При расчете таких схем отдельные группы четырехполюсников можно заменить эквивалентными одиночными четырехполюсниками и, таким образом, упростить схему цепи и, соответственно, решение задачи.
  • Электрические цепи с распределенными параметрами Параметры электрических цепей в той или иной мере всегда распределены вдоль длины отдельных участков. В большинстве практических случаев распределением параметров вдоль длины пренебрегают и представляют электрическую цепь эквивалентной схемой с сосредоточенными схемными элементами R , L и C
  • Графический метод расчета нелинейной цепи с несколькими источниками ЭДС Графический метод расчета можно применять также и для более сложных схем с несколькими источниками ЭДС. Последовательность графических операций при решении одной и той же задачи может быть различной и зависит от выбора алгоритма решения.
  • Нелинейные цепи переменного тока. Общая характеристика нелинейных цепей переменного тока и методов их исследования Нелинейные цепи переменного тока могут содержать в своей структуре нелинейные элементы любого рода: нелинейные резисторы u(i), нелинейные катушки ψ(i) и нелинейные конденсаторы q(u).
  • Пример. Заданы геометрические размеры разветвленной магнитной цепи и основная кривая намагничивания В=f(Н) для материала магнитопровода. Аналитическое решение задачи выполняется в следующей последовательности [an error occurred while processing this directive]
  • Расчет магнитной цепи с постоянным магнитом Постоянные магниты находят применение в автоматике, измерительной технике и других отраслях для получения постоянных магнитных полей. В основе их принципа действия лежит физическое явление остаточного намагничивания.
  • Методы расчета нелинейных цепей переменного тока на основе ВАХ для эквивалентных синусоид Замена несинусоидальных функций i(t) и u(t) эквивалентными синусоидальными позволяет применить к расчету нелинейных цепей переменного тока комплексный метод со всеми вытекающими из него преимуществами.
  • Резонансные явления в нелинейных цепях Резонанс в цепи, содержащей нелинейную катушку с ферромагнитным сердечником и линейный конденсатор, получил название феррорезонанса. Для качественного исследования явления феррорезонанса воспользуемся методом эквивалентных синусоид.
  • Расчет  мгновенных значений параметров режима графическим методом При расчете мгновенных значений напряжений u(t) и токов i(t) в нелинейной  цепи используются физические характеристики нелинейных элементов, а именно: вольтамперная характеристика u=f(i) или i=f(u) для резистора, веберамперная характеристика i=f(y) или y=f(i) для катушки и кулонвольтная характеристика q=f(u) или u=f(q) для конденсатора.
  • Расчет переходного процесса методом линеаризации дифференциального уравнения Сущность данного метода заключается в том, что в нелинейном дифференциальном уравнении, описывающем переходной процесс, пренебрегают нелинейностью второстепенных членов этого уравнения, при этом функциональные коэффициенты в этих членах заменяются постоянными.
  • Теория электромагнитного поля Электростатическое поле
  • Методы расчета электрических полей постоянного тока Электрическое поле постоянного тока, с одной стороны, и электростатическое поле вне электрических зарядов (rсв=0), с другой стороны, описываются одинаковыми по структуре математическими уравнениями
  • Магнитное поле сложной системы проводов с током В большинстве реальных случаев электрические токи, создающие магнитное поле, протекают по тонким каналам – электрическим проводам. Для создания сильных магнитных полей, используемых в технике, применяются системы проводов, образующие катушки индуктивности.
  • Поверхностный эффект в плоском листе Ранее было показано, что переменное электромагнитное поле быстро затухает по мере проникновения в толщу проводящей среды. Это приводит к неравномерному распределению поля по сечению магнитопровода, и следовательно, к неравномерному распределению магнитного потока по сечению: на оси магнитопровода плотность магнитного потока наименьшая, а у поверхностного - наибольшая.